כיצד להמיר r = 7 / (5-5costheta) לתוך צורה מלבנית?

תשובה:

זאת הפרבולה הצדדית # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

הסבר:

זה מעניין כי זה פשוט סוטה; המינימום של המכנה הוא אפס. זה קטע חרוט; ההסתכלות הפשוטה שאני חושבת עושה את זה פרבולה. זה לא משנה הרבה, אבל זה אומר לנו שאנחנו יכולים לקבל צורה אלגברית נחמד ללא פונקציות trig או שורשים מרובעים.

הגישה הטובה ביותר היא קצת לאחור; אנו משתמשים הקוטב כדי להחליף מלבני כאשר נראה כי הדרך האחרת תהיה ישירה יותר.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

לכן # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin = 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta}

אנחנו מבינים #r> 0. # אנחנו מתחילים לנקות את השבר.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

יש לנו #r cos theta # אז זה #איקס.#

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

התצפית הראשונית שלנו היתה #r> 0 # אז הריבוע בסדר.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

עכשיו אנחנו מחליפים שוב.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

מבחינה טכנית ענינו על השאלה בשלב זה ואנחנו יכולים לעצור כאן. אבל יש עדיין אלגברה לעשות, ואני מקווה פרס בסופו של דבר: אולי אנחנו יכולים להראות את זה הוא למעשה פרבולה.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

גרף {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17.35, 50, -30, 30}

כן, זה פרבולה, מסובבת # 90 ^ circ #מן הכיוון הרגיל.

בדוק: עין אלפא