כיצד להשתמש במבחן הנגזרת הראשון כדי לקבוע את extrema המקומית y = חטא x cos x?

תשובה:

אקסטרמה עבור # y = sin (x) cos (x) # הם

# x = pi / 4 + npi / 2 #

עם # n # מספר שלם יחסית

הסבר:

להיות #f (x) # הפונקציה המייצגת את הווריאציה של # y # עם חזרה ל #איקס#.

להיות #f '(x) # נגזרת של #f (x) #.

#f '(א) # הוא המדרון של #f (x) # עקומה ב # x = a # נקודה.

כאשר המדרון חיובי, עקומת גדל.

כאשר המדרון הוא שלילי, העקומה יורדת.

כאשר המדרון הוא ריק, את עקומת נשאר באותו ערך.

כאשר עקומת מגיע קיצוניים, זה יפסיק להגדיל / להקטין ולהתחיל ירידה / הגדלה. במילים אחרות, המדרון ילך בין חיובי לשלילי - או שלילי לחיובי - עובר ערך אפס.

לכן, אם אתה מחפש אקסטרמה של פונקציה, עליך לחפש את ערכי ה- null של ה- derivative שלה.

N.B. יש מצב שבו הנגזרת היא אפסית אבל העקומה לא מגיעה לקיצוניות: היא נקראת נקודת הטיה. את עקומת יהיה להפסיק לרגע להגדיל / להקטין ולאחר מכן לחדש את הגדלת / ירידה. אז אתה צריך גם לבדוק אם הסימן של המדרון משתנה סביב הערך null שלה.

דוגמא: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

(dcos (x)) / dx (x) x (x) cdot (dcos (x)

(x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

עכשיו שיש לנו את הנוסחה #f '(x) #, נחפש את ערכי ה- null שלה:

(x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin = 2 (x) #

הפתרונות הם # pi / 4 + npi / 2 # עם # n # מספר שלם יחסית.

תשובה:

גם אם אנחנו מתכננים להשתמש במבחן הנגזרות הראשון, כדאי לראות זאת #y = 1/2 חטא (2x) #.

הסבר:

לאחר שעשה את התצפית, אנחנו לא באמת צריכים חצץ כדי למצוא את extrema.

אנו יכולים להסתמך על הידע שלנו על טריגונומטריה ועל גרפים של פונקציות סינוסי

הערך המקסימלי (של 1/2) יתרחש כאשר # 2x = pi / 2 + 2pik # או מתי #x = pi / 4 + pik # ל # k # מספר שלם.

המינימום מתרחש ב #x = 3pi / 4 + pik # ל # k # מספר שלם.

אנחנו יכולים להשתמש בנגזרת, אבל אנחנו לא באמת צריכים את זה.

שימוש בנגזר

לאחר שנכתב מחדש # y #, אנחנו יכולים לראות את זה מהר #y '= cos (2x) #

אז מספרים קריטיים עבור # y # הם # 2x = pi / 2 + 2pik # ו # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (כאשר הקוסינוס הוא #0#) או

# x = pi / 4 + pik # ו # x = (3pi) / 4 + pik #

בדיקת הסימן של #y '= cos (2x) #, אנו מוצאים ערכים מקסימליים בסט הראשון של מספרים קריטיים וערכים מינימליים בשנייה.