מהו הגבול כאשר x מתקרב לאינסוף (ln (x)) ^ (1 / x)?

זה די פשוט. עליך להשתמש בעובדה זו

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

ללא שם: לאחר מכן, אתה יודע את זה

# ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) # #

ואז, החלק המעניין קורה אשר ניתן לפתור בשתי דרכים - באמצעות אינטואיציה ושימוש במתמטיקה.

בואו נתחיל עם חלק אינטואיציה.

# (n => infty) e ^ (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("משהו קטן מ x") / x) = e ^ 0 = 1 #

הבה נחשוב למה זה כך?

הודות להמשכיות של # e ^ x # פונקציה אנחנו יכולים להעביר את הגבול:

(ln (x)) / l (xn) x / l (ln (x)

כדי להעריך את המגבלה הזו #lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) #, אנו עשויים להשתמש בחוק דה החולים אשר קובע:

(# (x)) / (g (x (x)) (#) (n)

לכן, כאשר היינו סופרים נגזרים, אנו מקבלים:

(1) (xln (x) x (x (x (x (x (x (x)

כמו נגזרים הם # 1 / (xln (x)) # עבור מועמד ו #1# עבור המכנה.

גבול זה קל לחשב כפי שהוא # 1 / # סוג של גבול שהוא אפס.

לכן, אתה רואה את זה

(ln (x)) / x)) = = ^ 0 = 1 #

וזה אומר #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # גם כן.