תשובה:
# "אין כאן גורם קל, רק שיטה כללית" #
# "לפתרון משוואה מעוקבת יכול לעזור לנו כאן" # #
הסבר:
# "אנחנו יכולים ליישם שיטה המבוססת על החלפה של וייטה". #
# "חלוקת תשואות המקדם הראשון: # #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "תחליף" x = y + p "in" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "תשואות:" #
# y + p + 3 + ap + 2 + bp + c = 0 # (+ 3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b +
# "אם ניקח" 3p + a = 0 "או" p = -a / 3 ", המקדם הראשון # # "הופך לאפס, ואנחנו מקבלים:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(עם" p = -2 / 3 ") # #
# "תחליף" y = qz "in" y ^ 3 + b y + c = 0 ", תשואות: # #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "אם ניקח" q = sqrt (| b / / 3) ", מקדם z הופך להיות #
# "3 או -3, ואנחנו מקבלים:" #
# "(כאן" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "תחליף" z = t 1 / t ", תשואות:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "החלפת" u = t ^ 3 ", מניבה את המשוואה הריבועית:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "שורשי המשוואה הריבועית הם מורכבים". #
# "זה אומר שיש לנו 3 שורשים אמיתיים במשוואה המעוקבת שלנו". #
# "שורש של משוואה ריבועית זו הוא #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 #
# "החלפת המשתנים בחזרה, תשואות:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i #
# => z = 1.19500526 + i 0.0 #
# => y = 1.93100097 + i 0.0 #
# => x = 1.26433430 #
# "השורשים האחרים ניתן למצוא על ידי חלוקת ופתרון" # # # "משוואה ריבועית שנייה" # #
# "השורשים האחרים הם אמיתיים: -3.87643981 ו -0.61210551" # #
תשובה:
# Xx ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
איפה:
#x_n = 1/6 (4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
הסבר:
בהתחשב you
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
שים לב כי זה גורם הרבה יותר בקלות אם יש שגיאת הקלדה בשאלה.
לדוגמה:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2 צבע (אדום) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + צבע (אדום) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
אם מעוקב נכון בצורת נתון, אז נוכל למצוא אפסים וגורמים שלה כדלקמן:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
שינוי טשירנהאוס
כדי להפוך את המשימה של פתרון מעוקב פשוט יותר, אנחנו עושים את מעוקב פשוט יותר באמצעות החלפת ליניארית המכונה טרנספורמציה Tschirnhaus.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = t ^ 3-282t + 1712 #
איפה # t = (6x + 4) # #
תחליף טריגונומטרי
מאז #f (x) # יש ל #3# אפסים אמיתיים, השיטה של Cardano ודומה יגרמו לביטויים הקשורים לשורש הקוביות הבלתי ניתנות לחיזוי של מספרים מורכבים. ההעדפה שלי בנסיבות כאלה היא להשתמש במקום תחליף טריגונומטרי.
שים:
#t = k cos theta #
איפה #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
לאחר מכן:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (לבן) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (לבן) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (לבן) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
לכן:
# cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 מ"ר (94)
לכן:
# 3-theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
לכן:
#) - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
לכן:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) # #
אשר נותן #3# אפסים שונים של מעוקב ב # t #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "# ל #n = 0, 1, 2 #
לאחר מכן:
#x = 1/6 (t-4) #
אז שלושת אפסים של מעוקב נתון הם:
#x_n = 1/6 (4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
עם ערכים מקורבים:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
