איך לכתוב פולינום עם פונקציה של מינימום תואר בצורה סטנדרטית עם מקדמים אמיתיים אשר אפסים כוללים -3,4, ו 2-i?

תשובה:

# X (+) i (X-2-i) # (X + 2) עם #aq ב- RR #.

הסבר:

תן # P # להיות פולינום שאתה מדבר עליו. אני מניח #P! = 0 # או שזה יהיה טריוויאלי.

P יש מקדמים אמיתיים, כך #P (אלפא) = 0 => P (baralpha) = 0 #. זה אומר שיש שורש נוסף עבור P, #bar (2-i) = 2 + i #, ומכאן טופס זה # P #:

# (X-2 + i) ^ (a +) ^ (*) (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # עם #a_j ב- NN #, #Q ב- RR X # ו #a RR # כי אנחנו רוצים # P # יש מקדמים אמיתיים.

אנחנו רוצים את מידת # P # להיות קטן ככל האפשר. אם # (X-2) i (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # (X) = a (X + 3) ^ (a_1) לאחר מכן #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = סכום (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # לכן #deg (Q)> = 0 #. אם אנחנו רוצים # P # כדי לקבל את המידה הקטנה ביותר האפשרית, אם כך #deg (Q) = 0 # (# Q # הוא רק מספר אמיתי # q #), ומכאן #deg (P) = deg (R) # וכאן אנחנו יכולים אפילו להגיד את זה #P = R #. #deg (P) # יהיה קטן ככל האפשר אם כל #a_j = 0 #. לכן #deg (P) = 4 #.

אז לעכשיו, (X-2 + i) (X-2-i) # # (X + 3). בואו לפתח את זה.

# X = 2-4X + 5) ב- RR X # # X (x) = aq (X ^ 2 - X - 12). אז זה הביטוי הטוב ביותר # P # אנו יכולים למצוא עם תנאים אלה!