מבחן F עבור קעירה?

תשובה:

# f # הוא קמור ב # RR #

הסבר:

לפתור את זה אני חושב.

# f # הוא 2 פעמים # RR # לכן # f # ו # f '# הם רציפים ב # RR #

יש לנו # (f '(x)) ^ 3 + 3f' (x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

הבחנה בין שני החלקים שאנחנו מקבלים

(X) + e-x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# X-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• #f '(x) ^ 2> = 0 # לכן #f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># # ('x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 (f' (x)) ^ 2 + 1)> 0)

אנחנו צריכים את הסימן של המונה אז אנחנו רואים פונקציה חדשה

#g (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , #איקס## in ## RR #

#g '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

אנו מבחינים בכך #g '(0) = e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

ל # x = π # #=># # g '(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

ל # x = -π # # '' '')))) ''))) -

סוף סוף אנחנו מקבלים את הטבלה הזאת המציגה את המונוטוניות של # גרם #

אמור # I_1 = (- oo, 0) # ו # I_2 = 0, + oo #

# g (x)) = 3, + oo # g (x)

# +, + oo # g (x +) = g (0),

כי

• # x (x) x (x) x (x) x (x) x (x)

# | sinx | <= 1 # #<=># # -1 = = - sinx <= 1 # #<=>#

# + e + x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # # e ^ x + 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx < #<=>#

# e + x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• באמצעות משפט לסחוט / כריך יש לנו

# + = = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3x) # #

לכן, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

עם אותו תהליך אנחנו בסופו של דבר

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

למרות זאת, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

לכן, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

ההיקף של # גרם # יהיה:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) uug (I_2) = 3, + oo) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # לכן # גרם # אין שורשים # RR #

  # גרם # הוא רציף ב # RR # ואין לה פתרונות. לכן, # גרם # משמר כניסה # RR #

זה אומר

# (g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

לפיכך, #g (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

כתוצאה #g (x)> 0 #, #איקס## in ## RR #

ו #f '' (x)> 0 #, #איקס## in ## RR #

#-># # f # הוא קמור ב # RR #

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

בהתחשב #y = f (x) # רדיוס עקומת עקומת ניתנת על ידי

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # כך נתון

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # יש לנו

# 3 '(f') ^ 2f '' + 3f '' = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # או

# 1 '(1) (f') ^ 2) = 1/3 (e + x + 3x ^ 3-sinx + 2) # # או

# 1 / (f + '(1+ (f') ^ 2)) = 3 / (e + x + 3x ^ 3-sinx + 2) # או

# (+ 1) (f +) ^ 2) ^ (3/2) / (f '') = + 3x ^ 3-sinx + 2) #

עכשיו לנתח #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # יש לנו

#min g (x) = 0 # ל #x ב- RR # לכן #g (x) ge 0 # ולאחר מכן את עקמומיות ב

# (= 3 + 1x + 3-sinx + 2) # אינו משנה את הסימן ולכן אנו מסיקים את זה #f (x) # האפיגרף קמור # RR #