איך אתה מראה כי נגזרת של פונקציה מוזר הוא אפילו?

עבור פונקציה מסוימת # f #, נגזרת שלה ניתנת על ידי

# (x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #

עכשיו אנחנו צריכים להראות את זה, אם #f (x) # היא פונקציה מוזרה (במילים אחרות, # -f (x) = f (-x) # לכולם #איקס#) לאחר מכן #g (x) # היא פונקציה אפילו (#g (-x) = g (x) #).

עם זה בחשבון, בואו נראה מה #g (-x) # J

#x (-x) = lim_ (h-> 0) (f (-x + h) -f (-x)) / h #

מאז #f (-x) = - f (x) #, לעיל שווה

# (-x) = lim_ (h-> 0) (- f (x-h) + f (x)) / h #

הגדר משתנה חדש # k = -h #. כפי ש # h-> 0 #, כך גם # k-> 0 #. לכן, הנ"ל הופך

# (x-k) -f (k)) / k = g (x)

לכן, אם #f (x) # היא פונקציה מוזרה, הנגזרת שלה #g (x) # יהיה פונקציה אפילו.

# "Q.E.D" # #

איך אתה יודע אם f (x) = e ^ (x ^ 2-1) הוא פונקציה אפילו או מוזר?

גם פונקציה "אף פונקציה": f (x) = f (-x) "פונקציה מוזרה": f (-x) = - f (x) f (x) = e ^ (x ^ 2-1) f (- x) = e ^ ((- x) ^ 2-1) = e ^ (x ^ 2 + 1) מאז f (x) = f (-x) הפונקציה היא אפילו.

תן f (x) = x-1. 1) ודא כי f (x) הוא אפילו לא מוזר. 2) האם F (x) ניתן לכתוב כסכום של פונקציה אפילו פונקציה מוזרה? א) אם כן, להציג פתרון. האם יש פתרונות נוספים? ב) אם לא, להוכיח שזה בלתי אפשרי.

תן f (x) = | x -1. אם F היו אפילו, אז f (-x) היה שווה f (x) עבור כל x. אם F היו מוזרים, אז f (-x) היה שווה -f (x) עבור כל x. שים לב כי x = 1 f (1) = | 0 | = 0 f (-1) = | ² = 2 מאז 0 הוא לא שווה ל 2 או ל -2, F הוא אפילו לא מוזר. יכול להיות שכתוב כ- g (x) + h (x), כאשר g הוא אפילו ו- h הוא מוזר? אם זה היה נכון אז g (x) + h (x) = | x - 1. התקשר להצהרה זו 1. החלף x x-x. g (-x) + h (-x) = | -x - 1 מכיוון ש- g הוא אפילו ו- h הוא מוזר, יש לנו: g (x) - h (x) = | -x - 1 התקשר להצהרה זו 2. שים את ההצהרות 1 ו- 2 יחד, אנו רואים ש- g (x) + h (x) = | x - 1 g (x) - h (x) = | -x - 1 הוסף את זה כדי להשיג 2g (x) = | x - 1 + | -x - 1 g

להוכיח בעקיפין, אם n ^ 2 הוא מספר מוזר n הוא מספר שלם, אז n הוא מספר מוזר?

הוכחה על ידי סתירה - ראה להלן נאמר לנו כי n ^ 2 הוא מספר מוזר n ב ZZ:. n ^ 2 ב- ZZ נניח ש- n ^ 2 הוא מוזר ו- n הוא אפילו. אז n = 2k עבור כמה k ZZ ו n = 2 = nxxn = 2kxx2k = 2 (2k ^ 2) שהוא מספר שלם אפילו:. n ^ 2 הוא אפילו, אשר סותר את ההנחה שלנו. מכאן אנו חייבים להסיק כי אם n 2 הוא מוזר גם חייב להיות מוזר.