תן f (x) = x-1. 1) ודא כי f (x) הוא אפילו לא מוזר. 2) האם F (x) ניתן לכתוב כסכום של פונקציה אפילו פונקציה מוזרה? א) אם כן, להציג פתרון. האם יש פתרונות נוספים? ב) אם לא, להוכיח שזה בלתי אפשרי.

תן #f (x) = | x -1 | #.

אם F היו אפילו, אז #f (-x) # השווי #f (x) # עבור כל x.

אם F היו מוזרים, אז #f (-x) # השווי # -f (x) # עבור כל x.

שים לב לכך עבור x = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | ² = 2 #

כיוון ש 0 אינו שווה ל 2 או ל -2, F הוא אפילו לא מוזר.

אולי זה כתוב #g (x) + h (x) #, שם g הוא אפילו ו- h הוא מוזר?

אם זה היה נכון אז #g (x) + h (x) = | x - 1 | #. התקשר להצהרה זו 1.

החלף x x -x.

#g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | #

מכיוון ש- g הוא אפילו ו- h מוזר, יש לנו:

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | # התקשר להצהרה זו 2.

לשים את ההצהרות 1 ו 2 יחד, אנחנו רואים את זה

#g (x) + h (x) = | x - 1 | #

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | #

הוסף את זה כדי להשיג

# 2g (x) = | x - 1 + | -x - 1 | #

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

זה אכן אפילו, מאז #x (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / = = g (x) #

מתוך משפט 1

# (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | x - 1 | #

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | x - 1 | #

#h (x) = | x - 1 | / 2 - | -x - 1 / / 2 #

זה אכן מוזר, שכן

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.