מהו השורש הריבועי של sqrt (y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt (z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt (x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?

תשובה:

# sqt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

ובלבד לפחות שניים מאלה:

# x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2 #

הסבר:

שים לב ש:

# (x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2) #

# צבע (אדום) (ביטול צבע (שחור) (x ^ 2)) - צבע (אדום) (ביטול (צבע (שחור) (x ^ 2))) + צבע (סגול) (בטל (צבע (שחור) צבע (סגול) (ביטול צבע (שחור () (שחור)) + צבע (סגול) (ביטול (צבע (שחור) (z ^ 2))) - צבע (ויולט)) (ביטול (צבע (שחור) (z ^ 2))) = 0 #

אז בואו נראה מה קורה כאשר אנו מרובעים:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2) # #

כמו תנאי הריבוע יבטל …

# (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 #

# ^ (sqrt (x ^ 2-y ^ 2)) ^ 2 + (^ 2 ^ 2-z ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((x ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# (+) צבע (שחור) (x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2)))) + 2sqrt ((x ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# + 2 (sq 2 (x ^ 2-z ^ 2) (+ z-2-x ^ 2)) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + (x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))) #

אז השורש המרובע שאנחנו רוצים הוא:

# sqt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

#צבע לבן)()#

הערות

התשובה הנ"ל פחות או יותר מניחה כי:

#sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) #

אמנם זה מחזיק אם לפחות אחד #a, b # היא לא שלילית, היא נכשלת אם הן שליליות.

זה יכול לקרות הגזירה לעיל אם, למשל:

# 0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2 #

ואז אנו מוצאים:

# xqrt (x ^ 2-y ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = = sqrt (x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

… סימן הפוך ממה שאנחנו צריכים.