למה אתה צריך למצוא את טופס טריגונומטרי של מספר מורכב?

בהתאם למה שאתה צריך לעשות עם מספרים מורכבים שלך, את הטופס trigonometric יכול להיות מאוד שימושי או קוצני מאוד.

לדוגמה, תן # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # ו # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

בואו לחשב את שתי צורות טריגונומטריות:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # ו # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # ו # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # ו # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

אז צורות trigonometric הם:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

בנוסף

נניח שאתה רוצה לחשב # z_1 + z_2 + z_3 #. אם אתה משתמש בטופס אלגברי, אתה מקבל

# 3 + + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

די קל. עכשיו לנסות עם טופס trigonometric …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (ci (pi / 4) + i חטא (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i חטא (2/3 pi)) #

מתברר כי הדרך הקצרה ביותר להוסיף שתי ביטויים אלה היא לפתור cosines ו sines, כלומר … פונה אל טופס אלגברי!

טופס אלגברי הוא לעתים קרובות את הטופס הטוב ביותר לבחור בהוספת מספרים מורכבים.

כפל

עכשיו אנחנו מנסים לחשב # z_1 * z_2 * z_3 #. שימוש בטפסים אלגבריים דורש הרבה חישובים מעצבנים. אבל פתרון מוצר זה עם צורות trigonometric הוא פשוט יותר:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (ci (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos 2/3 pi) + i pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2) / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

המרכיבים להוכיח כי השוויון השני מחזיקה באים טריגונומטריה: השניים נוסחאות נוספות

#sin (אלפא + ביתא) = חטא (אלפא) cos (ביתא) + חטא (ביתא) cos (אלפא) #

#cos (אלפא + ביתא) = cos (אלפא) cos (ביתא) - סינוס (אלפא) חטא (ביתא) #

הכפלה של מספרים מורכבים היא גם נקייה (אך מושגית לא קלה יותר) בצורה מעריכית.

במובן מסוים, הצורה הטריגונומטית היא מעין צורה בין הצורה האלגברית לצורות המעריכות. הטריגונומטריה היא הדרך לעבור בין שני אלה. במובן זה זה מעין "מילון" כדי "לתרגם" טפסים.