מהו GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

תשובה:

המחלק הנפוץ ביותר של #2^32-2^24+2^16-2^8+1# ו #2^8+1# J #1#

הסבר:

שים לב ש:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

הוא מספר ראשוני - למעשה אחד מספרי פרמה ידועים מעטים ידועים.

אז רק את הגורמים המשותפים האפשריים של #2^8+1# ו #2^32-2^24+2^16-2^8+1# הם #1# ו #257#.

עם זאת, כפי שציינת בשאלה:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

הוא של הטופס:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

הגורם היחיד # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # of #2^40+1# תואמת את השורש החמישי האמיתי של אחדות ו # (x + y) # הוא לא באופן אוטומטי גורם של הקוורטית הנותרים # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # אשר גורמים לינאריים אחרים הם כל מורכבים לא אמיתי.

אנו יכולים לחלק באופן ידני # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # על ידי # x + y # כדי לקבל שארית פולינום ולאחר מכן תחליף # x = 2 ^ 8 # ו # y = 1 # כדי לבדוק שזה לא מקרה מיוחד …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3xx ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

אז השאר הוא:

# 5y ^ 4 = 5 (צבע (כחול) (1)) ^ 4 = 5 #

מאז השאר הוא לא אפס, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# ו #2^8+1# אין גורם משותף גדול יותר #1#.