אינטגרל פשוט: int {-3x + 5} / {x ^ 2-2x + 5} dx =?

תשובה:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

# = arctan (x-1) / 2) -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) # #

הסבר:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=# -int (3x-5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=# -int (3x-3-2) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=# -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #+#int 2 / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=#int 2 / ((x-1) ^ 2 + 4) * dx #-# 3 / 2int (2x-2) / (x ^ 2-2x + 5) # #

=#xctan (x-1) / 2) -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) # #

תשובה:

# + - 3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C #

הסבר:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = int (-3x + 5-2 + 2) / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# x = 2 xx + 5) dx #

# x-2-2x + 5) dx + int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #

ל:

# -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx #

השתמש בתחליף:

# u = x ^ 2-2x + 5 #

#imasures du = 2x-2dx מרמז על 3 / 2du = 3x-3dx #

(3/3) / 3 x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx = -int (3/2) / udu = -3 / 2ln (u) + C #

הפוך את החלפה:

# -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + C #

עכשיו אינטגרל אחר:

# int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #

כתוב את המכנה בטופס מרובע הושלם:

# 2 = 2-2x + 5 = (x-1) ^ 2 - (- 1) ^ 2 + 5 = (x-1) ^ 2 + 4 #

לכן:

# 2 / int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx = 2intdx / (x-1) ^ 2 + 4) #

עכשיו תחליף:

# 2u = (x-1) #

#implies du = 2dx # לכן:

# 2intxx / (x-1) ^ 2 + 4) = 2int2 / (4u ^ 2 + 4) du = 4 / 4int1 / (u ^ 2 + 1) du #

אשר אנו מכירים פשוט להשתלב הפוך משיק נותן לנו:

# = tan ^ -1 (u) + C '#

הפוך את החלפה:

# = tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C #

לפיכך, "משהו" הוא:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# x-2-2x + 5) dx + int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# + - 3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C #