מה הם extrema המוחלט של f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) ב [2,9]?

תשובה:

המינימום המוחלט הוא # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# אשר מתרחשת כאשר # x = 9 #.

המקסימום המוחלט הוא # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # אשר מתרחשת כאשר # x = 2 #.

הסבר:

האקסטרמה המוחלטת של פונקציה היא הערכים y ו- y הקטנים ביותר של הפונקציה בתחום נתון. דומיין זה עשוי להינתן לנו (כמו בבעיה זו) או שהוא עשוי להיות תחום הפונקציה עצמה. גם כאשר אנו מקבלים את התחום, עלינו לשקול את התחום של הפונקציה עצמה, למקרה שהוא אינו כולל את כל הערכים של התחום שאנו מקבלים.

#f (x) # מכיל את המעריך #1/3#, אשר אינו שלם. למרבה המזל, התחום של #p (x) = root3 (x) # J # (- oo, oo) # כך עובדה זו אינה בעיה.

עם זאת, אנחנו עדיין צריכים לשקול את העובדה כי המכנה לא יכול להיות שווה אפס. המכנה יהיה שווה אפס כאשר #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) # #. אף אחד מהערכים האלה לא נמצא בתחום הנתון #2,9#.

אז, אנחנו פונים למציאת extrma מוחלטת ב #2,9#. Extrema מוחלטת מתרחשת בנקודות הקצה של התחום או באקסטרמה מקומית, כלומר נקודות שבהן הפונקציה משנה כיוון. אקסטרמה מקומית מתרחשת בנקודות קריטיות, שהן נקודות בתחום שבו הנגזר שווה #0# או אינו קיים. לכן, עלינו למצוא את הנגזרת. שימוש כלל המנה:

# (x) = (3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

# 3 '(= 3) = (3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

# (x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

# ('x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

אם אנחנו גורם # -3x ^ (- 2/3) # מתוך המונה, יש לנו:

# ('x) = (3 × 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

אין ערכים של #איקס# on #2,9# איפה #f '(x) # לא קיים. אין גם ערכים #2,9# איפה #f '(x) = 0 #. לכן אין נקודות קריטיות על התחום נתון.

באמצעות "מבחן המועמדים", אנו מוצאים את הערכים של #f (x) # בנקודות הקצה. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) # #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) # #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

בדיקה מהירה על מחשבונים שלנו מראה כי:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (מקסימום מוחלט)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (מינימום מוחלט)