מהו ההופך של f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3)?

תשובה:

# ^ ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

הסבר:

בהנחה שאנחנו עוסקים # log_3 # כמו פונקציה מוערך אמיתי והופך # 3 ^ x #, ולאחר מכן את התחום של #f (x) # J # (3, oo) #, שכן אנו דורשים #x> 3 # כדי ש # log_3 (x-3) # יוגדרו.

תן #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 (x-3/2) ^ 2-9 / 4) # #

לאחר מכן:

# -y / 3 = log_3 (x-3/2) ^ 2-9 / 4) # #

לכן:

# 3 ^ - y / 3 = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

לכן:

# 3 ^ - y / 3 +9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

לכן:

# x-3/2 = + -sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) #

למעשה, זה חייב להיות שורש ריבועי חיובי מאז:

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

לכן:

#x = sqrt (3 ^ - y / 3) +9/4) + 3/2 #

לפיכך:

# ^ ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #