נניח שיש בסיס ומספר מסוים של מידות עבור תת-מרחב W ב RR ^ 4. מדוע מספר הממדים 2?

תשובה:

4 מימדים מינוס 2 אילוצים = 2 ממדים

הסבר:

הקואורדינטות ה -3 וה -4 הן היחידות העצמאיות היחידות. שני הראשונים יכולים לבוא לידי ביטוי במונחים של שני האחרונים.

תשובה:

הממד של מרחב משנה נקבע על ידי הבסיסים שלו, ולא על ידי מימד של כל שטח וקטורי הוא subpace של.

הסבר:

הממד של מרחב וקטור מוגדר על ידי מספר הווקטורים שבבסיס אותו מרחב (עבור מרחבים ממדיים אינסופיים, הוא מוגדר על ידי הקרדינליות של בסיס). שים לב כי הגדרה זו היא עקבית כפי שאנו יכולים להוכיח כי כל בסיס של שטח וקטור יהיה מספר זהה של וקטורים כמו כל בסיס אחר.

במקרה של # RR ^ n # אנחנו יודעים את זה #dim (RR ^ n) = n # כפי ש

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

הוא בסיס # RR ^ n # ו יש # n # אלמנטים.

במקרה של #W = s, t in RR # אנחנו יכולים לכתוב כל רכיב #W # כפי ש #svec (u) + tvec (v) # איפה #vec (u) = (4,1,0,1) # ו #vec (v) = (-1,0,1,0) # #.

מכאן, יש לנו את זה # {vec (u), vec (v)} # הוא פורש להגדיר עבור #W #. כי #vec (u) # ו #vec (v) # הם בבירור לא מכפילי סקלר של אחד את השני (שימו לב עמדות של #0#s), כלומר # {vec (u), vec (v)} # הוא להגדיר פורש עצמאית ליניארית עבור #W #, כלומר, בסיס. כי #W # יש בסיס עם #2# אלמנטים, אנחנו אומרים את זה #dim (W) = 2 #.

שים לב כי הממד של מרחב וקטורי אינו תלוי אם הווקטורים שלו קיימים בחללים וקטוריים אחרים של ממד גדול יותר. היחס היחיד הוא שאם #W # היא תת-מרחב של # V # לאחר מכן #dim (W) <= עמום (V) # ו #dim (W) = עמום (V) <=> W = V #