מהו הערך של sqrt (6 + sqrt (20))?

תשובה:

#sqrt (6 + sqrt (20)) = 1 + sqrt (5) #

הסבר:

הנה דרך אחת לפתור את זה.

נניח ש #sqrt (6 + sqrt (20)) = a + sqrt (b) # איפה # a # ו # b # הם מספרים שלמים שאינם שלמים.

ואז, מתיחה משני הצדדים, # 6 + sqrt (20) = a + 2 + 2asqrt (b) + b #. מקדמי ההשוואה לפי הרציונליות של המונחים, אנו מוצאים

# (a = 2 + b = 6), (2asqrt (b) = sqrt (20) = 2sqrt (5)):} #

מן המשוואה השנייה, יש לנו # a ^ 2b = 5 #. הכפל את שני הצדדים של המשוואה הראשונה על ידי # b # להשיג # a ^ 2b + b ^ 2 = 6b #, או # b ^ 2-6b + 5 = (b-5) (b-1) = 0 #.

הפתרונות של משוואה ריבועית זו הם # b = 1 # או #5#, אבל כש # b = 1 #, # a = sqrt (5) #.

לכן, הפתרון היחיד עבור מספרים שלמים # a # ו # b # J # a = 1, b = 5 #.

אז יש לנו #sqrt (6 + sqrt (20)) = 1 + sqrt (5) #.