שאלה # dbd28

תשובה:

הגדר את המרחק בין הגרף לנקודה כפונקציה ומצא את המינימום.

הנקודה היא #(3.5,1.871)#

הסבר:

כדי לדעת כמה הם קרובים, אתה צריך לדעת את המרחק. המרחק האוקלידי הוא:

#sqrt (Δx ^ 2 + Δy ^ 2) # #

כאשר Δx ו- Δy הם ההבדלים בין שתי הנקודות. על מנת להיות הנקודה הקרובה ביותר, נקודה זו צריכה להיות מרחק מינימלי. לכן, אנו קובעים:

# (x) = sqrt (x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) # #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 x x) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) # #

עכשיו אנחנו צריכים למצוא את המינימום של פונקציה זו:

# ('x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

# # '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

המכנה הוא תמיד חיובי כפונקציה שורש ריבועי. המונה חיובי כאשר:

# 2x-7> 0 #

#x> 7/2 #

#x> 3.5 #

אז הפונקציה חיובית כאשר #x> 3.5 #. כמו כן, ניתן להוכיח כי הוא שלילי כאשר #x <3.5 # לכן, יש פונקציה #f (x) # יש מינימום ב # x = 3.5 #, כלומר המרחק הוא לפחות ב # x = 3.5 # קואורדינטת y # y = x ^ (1/2) # J

# y = 3.5 ^ (1/2) = sqrt (3.5) = 1.871 #

לבסוף, הנקודה שבה המרחק הכי פחות מ (4,0) הוא ציין:

#(3.5,1.871)#