מהי צורת הקודקוד של y = 6x ^ 2 + 20x + 6?

תשובה:

צורת ורטקס של משוואה היא # y = 6 (x +5/3) ^ 2-96 / 9 #

צורת ורטקס של משוואה היא # y = a (x-h) ^ 2 + k; (h.k) # להיות קודקוד.

# y = 6x ^ 2 + 20x + 6 או y = 6 (x ^ 2 + 20 / 6x) + 6 # או

# y = 6 (x ^ 2 + 10 / 3x) +6 # או

# y = 6 {x ^ 2 + 10 / 3x + (5/3) ^ 2} + 6-150 / 9 # #150/9# נוסף ו

שחולקו בו זמנית כדי ליצור ריבוע

#:. y = 6 (x +5 / 3) ^ 2-96 / 9 #, כאן # h = -5/3 ו- k = -96/9 #

אז קדקוד הוא ב #(-5/3,-96/9) # ואת הצורה הקדקודית של המשוואה היא

# y = 6 (x +5/3) ^ 2-96 / 9 # Ans

# y = 6 (x - (- 5/3)) ^ 2 + (- 32/3) #

בואו נתחיל בכך שנכיר את הגנרל טופס קדקוד אשר יהיה היעד שלנו:

# צבע (לבן) ("XXX") y = צבע (ירוק) m (x-color (אדום) a) ^ 2 + צבע (כחול) bcolor (לבן) ("xxx") # עם קודקוד ב # (צבע (אדום) a, צבע (כחול) b #

בהתחשב

#color (לבן) ("XXX") y = 6x ^ 2 + 20x + 6 #

אנו נפרדו תחילה #איקס# התנאים ו קבוע:

#color (לבן) ("XXX") y = 6x ^ 2 + 20xcolor (לבן) ("xxxxx") + 6 #

ואז לחלץ #color (ירוק) m # גורם מן #איקס# מונחים:

# x (+ 10 / 3x) צבע (לבן) ("xxxxx") + 6 #

כדי "להשלים את הכיכר" הלוך ושוב #איקס# במונחים, זוכר את זה

#color (לבן) ("XXX") (x + k) ^ 2 = (x ^ 2 + 2kx + k ^ 2) #

במקרה זה כבר יש לנו # x ^ 2 + 10 / 3x #

הערך של # k # חייב להיות #10/6=5/3#

יהיה עלינו להוסיף # k ^ 2 = (5/3) ^ 2 = 25/9 # כדי "להשלים את הכיכר".

ברור, אם אנחנו הולכים להוסיף סכום במקום שאנחנו צריכים לחסר אותו במקום אחר כדי לשמור על הכל שווה הביטוי המקורי.

… אבל כמה אנחנו צריכים לחסר?

אם נתבונן היטב נראה שאנחנו לא רק להוסיף #25/9# אבל אנחנו נהיה הוספת סכום זה פעמים ה #color (ירוק) m = צבע (ירוק) 6 # גורם.

אז אנחנו צריכים לחסר #color (ירוק) 6xx25 / 9 = 50/3 #

עכשיו יש לנו:

# צבע (לבן) (צבע) (צבע) (צבע לבן) (xxx) + צבע (מגנטה) (50) + צבע (לבן) / 3) #

אם אנחנו כותבים מחדש את הרכיב המוטבע כסרגל בינארי מרובע ומפשטים את הקבועים שאנו מקבלים

# (x + 5/3) ^ 2 צבע (לבן) ("xxx") - 32/3 #

או, במפורש טופס קדקוד

# (צבע לבן) (צבע לבן) (צבע לבן) (צבע לבן))) #

#color (לבן) ("XXXXXXXXXXXXXXX") # עם קודקוד ב # (צבע (אדום) (- 5/3), צבע (כחול) (- 32/3)) #

הגרף שלהלן של המשוואה המקורית מציין שתשובה זו היא "סבירה" (אם כי לא הבנתי כיצד ללכוד אותה בקואורדינטות הקודקוד המוצגות)

גרף {6x ^ 2 + 20x + 6 -5.582, 2.214, -14.49, -7.593}