למה אנחנו לא יכולים לשלב x ^ x?

תשובה:

אין לנו כלל.

הסבר:

באינטגרלים יש לנו כללים סטנדרטיים. הכלל האנטי-שרשרתי, חוק האנטי-מוצר, חוק נגד הכוח, וכן הלאה. אבל אין לנו אחד עבור פונקציה שבה יש #איקס# הן בבסיס והן בכוח. אנחנו יכולים לקחת את נגזרת זה בסדר גמור, אבל מנסה לקחת אינטגרל שלה הוא בלתי אפשרי בגלל חוסר כללים זה יעבוד.

אם אתה פותח Desmos Graphing Calculator, אתה יכול לנסות לחבר

# int_0 ^ x a ^ ada #

וזה יהיה גרף זה בסדר גמור. אבל אם תנסו להשתמש בכללי האנטי-כוח או בכללים נגד המעריך לגרף נגד זה, תראה שהוא נכשל. כאשר ניסיתי למצוא אותו (שבו אני עדיין עובד), הצעד הראשון שלי היה כדי לקבל את זה מן הטופס הזה לתוך הדברים הבאים:

# inte ^ (xln (x)) dx #

זה בעצם מאפשר לנו להשתמש בכללי חצץ קצת יותר טוב. אבל גם בעת שימוש אינטגרציה על ידי חלקים, אתה אף פעם לא ממש להיפטר אינטגרל. לכן, אתה לא ממש מקבל פונקציה כדי לקבוע את זה.

אבל כמו תמיד במתמטיקה, זה כיף להתנסות.אז קדימה, לנסות, אבל לא יותר מדי זמן או קשה, אתה תישאב לתוך זה ארנב חור.

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

#y = x ^ x # יכול להיות משולב. לדוגמה

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

דבר אחר הוא עכשיו יש ימים, פונקציה #f (x) # אשר מייצג בצורה סגורה, פרימיטיבי עבור # x ^ x # או במילים אחרות, כך

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

אם זה היה פונקציה של שימוש נפוץ בבעיות מדעיות-טכניות, בוודאי היינו ממציאים שם וסמל מובחנים כדי לתמרן אותו. כמו הפונקציה למברט מוגדר

#W (x) = x e ^ x #

תשובה:

אנא ראה להלן.

הסבר:

כפי שציין קיסריו (בלי לומר), יש כמה עמימות ב "אנחנו לא יכולים להשתלב".

הפונקציה #f (x) = x ^ x # הוא רציף ב # (0, oo) #

וכן הלאה # 0, oo # אם נעשה #f (0) = 1 #, אז בואו נעשה את זה. לכן, אינטגרל מסוים

# int_a ^ b x ^ x dx # קיים עבור כולם # 0 <= a <= b #

יתר על כן, המשפט הבסיסי של calulus אומר לנו את הפונקציה # int_0 ^ x t ^ t dt # יש נגזרת # x ^ x # ל #x> = 0 #

מה שאנחנו לא יכולים לעשות זה להביע את התפקיד הזה בצורה יפה, סופית, סגורה של ביטויים אלגבריים (או אפילו יודעים היטב פונקציות טרנסצנדנטליות).

יש הרבה דברים במתמטיקה שלא ניתן לבטא אלא בצורה המאפשרת קירובים טובים יותר ברציפות.

לדוגמה:

המספר שהכיכר שלו #2# לא יכול לבוא לידי ביטוי עשרוני או בצורת שבר באמצעות ביטוי סופי. אז אנחנו נותנים לו סמל, # sqrt2 # ולהשוות אותו לרמת הדיוק הרצויה.

היחס בין ההיקף לקוטר המעגל אינו ניתן לביטוי סופי באמצעות שילוב אלגברי סופי של מספרים שלמים, לכן אנו נותנים לו שם, #פאי# ולהשוות אותו לרמת הדיוק הרצויה.

הפתרון # x = cosx # גם יכול להיות בקירוב לכל מידה הרצויה של דיוק, אבל לא ניתן לידי ביטוי finitely. מספר זה הוא (אולי) לא חשוב מספיק כדי לקבל שם.

כמו אמר קיסריו, אם אינטגרל של # x ^ x # היו יישומים רבים, מתמטיקאים לאמץ שם עבור זה.

אבל החישובים עדיין דורשים קירוב אינסופי.