איך אתה ממיר r = 1 / (4 - costheta) לצורה קרטזית?

תשובה:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

הסבר:

היי, סוקראטי: האם זה באמת צריך לספר לנו זה היה שאל לפני 9 דקות? אני לא אוהב להיות משקר. אמור לנו שזה נשאל לפני שנתיים ואף אחד לא היה מסוגל לעשות את זה עדיין. כמו כן, מה קורה עם שאלות מנוסחות זהים בחשדנות ממספר מקומות? שלא לדבר על סנטה קרוז, ארצות הברית? קרוב לוודאי שיש יותר מאחד, אם כי אני שומע את זה בקליפורניה יפה. אמינות ומוניטין חשובים, במיוחד באתר שיעורי הבית. אל תטעו אנשים. סוף הטרוף.

בעת המרת משוואות מקוטב לקואורדינטות מלבניות כוח מלבני מלבני כדי החלפת פולאר

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = טקסט {arctan2} (y "/, x) quad #

היא לעתים רחוקות את הגישה הטובה ביותר. (אני מתכוון להצביע על ארבעת הטווח ההפוך של הרבע כאן, אבל בואו לא נהיה מוסחים).

באופן אידיאלי אנחנו רוצים להשתמש הקוטב כדי להחליף מלבני, #x = r cos theta #

# y = r חטא theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin = 2 theta = r ^ 2 #

בסדר בואו נסתכל על השאלה.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

משוואות הקוטב האלה מאפשרות בדרך כלל שליליות # r #, אבל כאן אנחנו בטוחים # r # הוא תמיד חיובי.

#r (4 - cos theta) = 1 #

אלה אני חושב הם אליפסות, אשר לא ממש משנה, אבל האם לתת לנו מושג כמה אנחנו מקווים בצורת מלבני להיראות. אנחנו רוצים לכוון משהו ללא שורשים מרובעים או arctangents # r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # יש שורשים מרובעים, אבל #rcos theta = x # לא, אז אנחנו מתרחבים.

# 4r - rcos theta = 1 #

עכשיו אנחנו פשוט תחליף; אנחנו נעשה את זה במדרגות.

# 4r-x = 1 #

# 4r = x 1 # #

ללא שם: בואו מרובע כעת. אנחנו יודעים #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

זהו אליפסה יפה ומעגלית. (קבוע קטן יותר מאשר #4# במקור היה נותן אליפסה אקסצנטרית יותר.) אנחנו יכולים להשלים את הכיכר לשים את זה בצורה סטנדרטית, אבל בואו נשאיר את זה כאן.