שאלה # 92256

תשובה:

ראה הסבר

הסבר:

לשבור את זה לשני חלקים, ראשית את החלק הפנימי:

# e ^ x #

זה חיובי ולהגדיל את כל המספרים הממשיים ועובר מ 0 ל # oo # כפי ש #איקס# הולך מ # -oo # ל # oo #

יש לנו:

#arctan (u) #

יש אסימפטוט אופקי נכון ב # y = pi / 2 #. הולך מ # u = 0 rarr oo #, at # u = 0 # פונקציה זו היא חיובית וגוברת על תחום זה, לוקח ערך של 0 ב # u = 0 #, ערך של # pi / 4 # ב # u = 1 # ואת הערך של # pi / 2 # ב # u = oo #.

נקודות אלה ולכן מקבל משך # x = -oo, 0, oo # בהתאמה ואנו בסופו של דבר עם גרף נראה ככה כתוצאה מכך:

גרף {arctan (e ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

וזה החלק החיובי של # arctan # פונקציה למתוח מעל כל קו אמיתי עם הערך השמאלי להיות למתוח אסימפטוט אופקי ב # y = 0 #.

תשובה:

ראה הסבר

הסבר:

דומיין J # RR #

סימטריה

לא לגבי #איקס# ציר ולא w.r.t המקור.

#arctan (e ^ (- x)) # אינו מפשט #arctan (e ^ x) #

ולא # -arctan (e ^ x) #

מיירט

#איקס# מיירט: אף אחד

אנחנו לא יכולים להגיע #y = 0 # כי זה ידרוש # e ^ x = 0 #

אבל # e ^ x # זה אף פעם #0#, זה רק מתקרב #0# כפי ש # xrarr-oo #.

לכן, # yrarr0 # כפי ש # xrarr-oo # וה #איקס# ציר ציר אופקי

אסימפטוט בצד שמאל.

# y # לעכב: # pi / 4 #

מתי # x = 0 #, אנחנו מקבלים #y = arctan (1) = pi / 4 #

אסימפטוטים:

אנכי: אף אחד

# arctan # בין # -pi / 2 # ו # pi / 2 # מעצם הגדרתו, כך שלא ילך לעולם # oo #

אופקי:

שמאלה: # y = 0 # כפי שפורט לעיל

ימין: # y = pi / 2 #

אנחנו יודעים את זה, כמו # thetararrpi / 2 # עם #theta <pi / 2 #, אנחנו מקבלים #tantheta rarr oo #

לכן, # xrarroo #, אנחנו מקבלים # e ^ x rarroo #, לכן # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

נגזר ראשון

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # זה אף פעם #0# ולעולם לא מוגדר, ולכן אין מספרים קריטיים.

לכל #איקס# יש לנו #y '> 0 # כך הפונקציה גדלה # (- oo, oo) #

אין אקסטרמה מקומית.

נגזרת שנייה

(1 + e ^ (2x)) ^ 2 (#)

# (e + x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# (e ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # הוא מעולם לא מוגדר, וזה #0# ב # x = 0 #

סימן של #y '' #:

מופעל # (- oo, 0) #, אנחנו מקבלים # e ^ (2x) <1 # לכן #y ''> 0 # ואת הגרף הוא קעור

מופעל # (0, oo) #, אנחנו מקבלים # e ^ (2x)> 1 # לכן #y '' <0 # ואת הגרף הוא קעור

הקשקוש משתנה ב # x = 0 #, ולכן נקודת ההטיה היא:

# (0, pi / 4) #

עכשיו סקיצה את הגרף