תשובה:
# x = (1 + -qqrt5) / 2, x = (3 + -qqrt13) / 2 #
הסבר:
מכיוון שלרביעיות זו אין שורשים רציונליים (ואני לא יכול להטריד את הנוסחאות), אנחנו מתחילים בשיטת ניוטון כדי להשוות את השורשים:
# x ~ ~ -0.303 #
# x ~ ~ -0.618 #
# x ~ ~ 1.618 #
# x ~~ 3.303 #
מבין אלה, אנו מוצאים את זה # x ~ ~ -0.618 # ו # x ~ ~ 1.618 # לבלוט. אנו מכירים בכך כיחס הזהב:
# x = (1 + -qqrt5) / 2 #
אנחנו יכולים גם לוודא שהם שורשים על ידי חיבור אותם לתוך המשוואה, אבל אתה יכול פשוט לקחת את המילה שלי כי הם אכן שורשים.
משמעות הדבר היא שהגורם הבא הוא המשוואה:
# (x- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #
# (x-1/2) + sqrt5 / 2) (x-1/2) - sqrt5 / 2) = #
# 2 (x-1/2) ^ 2 (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 =
# = x ^ ^ 2-x-1 #
מאז, אנחנו יודעים # x ^ 2-x-1 # הוא גורם, אנו יכולים להשתמש בחלוקה ארוכה פולינום כדי לברר את שארית לשכתב את המשוואה כך:
# (x ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #
יש לנו כבר הבנתי כאשר גורם שמאל שווה אפס, אז עכשיו אנחנו מסתכלים ימין. אנחנו יכולים לפתור את ריבועי באמצעות נוסחה ריבועית כדי לקבל:
# x = (+ 3 -sqrt13) / 2 #
