פתרו את המשוואה הבאה: (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

תשובה:

# x = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

הסבר זה נותן שיטה מעמיקה למדי של קביעת השלבים למציאת גורמים אפשריים שאליהם ניתן לשכתב משוואה מסוג ריבועי, כך שניתן לפתור אותה ללא משוואה ריבועית ו / או מחשבון.

הסבר:

ראשית מרובע את המונח בצד שמאל של המשוואה.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

הרחב את ריבוע בינומי. נזכיר את זה # (x ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

אנחנו יכולים לנקות את השברים על ידי הכפלת המשוואה על ידי המכנה המשותף לפחות #3,25,# ו #9,# אשר #225#.

שים לב ש #225=3^2*5^2#, לכן #225/3=75#, #225/25=9#, ו #225/9=25#.

הכפלה על ידי #225# נותן:

# (X ^ 2-2) +9 (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

הפץ כל קבוע קבוע.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

העבר את כל המונחים לצד אחד וסדר מחדש את המשוואה.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

זה פוטנציאל להיות פקטורבל: חוסר # x ^ 3 # ו #איקס# מונחים פירושו כי זה עשוי להיות מסוגל להיות factored בצורה # (x ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

כדי לבדוק גורמים, שים לב כי אנו צריכים למצוא זוג מספרים שלמים שהמוצר שלהם הוא תוצר של המקדמים הראשונים והאחרונים, שהוא # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. אותם מספרים שלמים שהמוצר שלהם הוא #3^2*11*19# צריך להיות סכום של #-118#.

מאחר שהמוצר הוא חיובי והסכום הוא שלילי, אנו יודעים ששני המספרים השלמים יהיו חיוביים.

הטריק עכשיו הוא למצוא כמה שילוב של מספרים שמגיע #3^2*11*19# אשר סכום זה #118#. (אם נמצא את הגרסה החיובית, נוכל להחליף את שני המספרים לצורה השלילית שלהם בקלות).

אנחנו צריכים לנסות לבוא עם קבוצות של גורמים #3^2*11*19# כי לא יעלה #118#.

אנחנו יכולים לחסל מראש את האפשרות #3^2*19# ו #11*19# המתרחשים כאחד משני המספרים השלמים שלנו, כיוון ששניהם גדולים מ #118#. לכן, אם נתמקד #19# שכן הוא הגורם הגדול ביותר, אנו יודעים שהוא יהיה קיים רק גם #19# או #3*19#.

לכן, רק שתי האפשרויות שלנו עבור מספרים שלמים הם:

# (: "bb" מספר שלם ",", "bb" Integer 2 "," bb "Sum"), (19, "," 3 ^ 2 * 11 = 99, ", 118), (19 * 3 = 57, ", 3 * 11 = 33", ", 90):} #

מכאן זוג המספרים שלנו שהמוצר שלהם #3^2*11*19# ואת הסכום הוא #118# J #19# ו #99#.

מכאן נוכל לכתוב את הקוורטיק כ:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

פקטור לפי קיבוץ:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

לפצל את זה לתוך שתי משוואות:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" = "" x ^ 2 = 19/9 "" = "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "x ^ 2 = 11" "=>" x = + - sqrt11 #

תשובה:

משוואות עם שברים תמיד נראה גרוע יותר מאשר הם. כל עוד יש לך משוואה ולא ביטוי, אתה יכול להיפטר המכנים על ידי הכפלת על ידי LCM של המכנים.

הסבר:

# (x ^ 2 -2) / 3 + (x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

נתחיל על ידי כיבוש המכנה בכהונה השנייה.

# (x ^ 2 -2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

עכשיו להכפיל כל מונח על ידי 225 לבטל את המכנים.

#) +) ביטול ביטול (225) ^ 25xx7 / Cancel9 (x ^ 2) 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

זה ברור ריבועי, אז לעשות את זה שווה ל 0.

# (X ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

שימו לב שהמונחים הראשונים והשלישיים דומים למונחים, כך שנוכל להוסיף אותם יחד. גם מרובע באמצע טווח.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

הסר את הסוגריים על פי החוק החלוקתי:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

לפשט: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

היכרות עם הגורמים של 9 ו 209 מוביל

9 = 3x3, או 9x1 ו- 209 = 11 x 19

השילוב של גורמים שמוסיפים ל -118 הוא 99 + 19

Factorising נותן # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2- 19) = 0 #

אם # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

אם # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #