כיצד ניתן לפשט (חטא ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

תשובה:

# cos ^ 5x #

הסבר:

סוג זה של הבעיה הוא באמת לא כל כך רע ברגע שאתה מזהה שזה כרוך באלגברה קטנה!

ראשית, אני לשכתב את הביטוי נתון כדי להפוך את הצעדים הבאים קל יותר להבין. אנחנו יודעים את זה # sin = 2x # היא רק דרך פשוטה יותר לכתוב # (sin x) ^ 2 #. באופן דומה, # sin = 4x = (sin x) ^ 4 #.

כעת אנו יכולים לשכתב את הביטוי המקורי.

# (sin = 4 x - 2 sin = 2 x 1) cos x #

# = (x) x (x x) ^ 4 - 2 (חטא x) ^ 2 + 1 cos x #

עכשיו, הנה החלק של אלגברה. תן #sin x = a #. אנחנו יכולים לכתוב # (חטא x) ^ 4 - 2 (חטא x) ^ 2 + 1 # כפי ש

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

האם זה נראה מוכר? אנחנו רק צריכים גורם זה! זהו טרינומי מרובע מושלם. מאז # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, אנחנו יכולים להגיד

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

עכשיו, לחזור למצב המקורי. תחליף מחדש #sin x # ל # a #.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = sin x ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (צבע (כחול) (חטא ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

כעת אנו יכולים להשתמש בזהות טריגונומטית כדי לפשט את התנאים בכחול. סידור מחדש של הזהות # sin = 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, אנחנו מקבלים #color (כחול) (חטא ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (צבע (כחול) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

ברגע שאנחנו מרובעים זה, הסימנים השליליים מתרבים להיות חיוביים.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = cos ^ 5x #

לפיכך, # (sin = 4 x - 2 sin = 2 x 1) cos x = cos ^ 5x #.