מצא את האזור של האזור המוצל?

תשובה:

אנא ראה להלן.

הסבר:

כאשר אנו הראשונים ללמוד למצוא אזורים על ידי אינטגרציה, אנחנו לוקחים מלבנים נציג אנכית.

למלבנים יש בסיס # dx # (שינוי קטן #איקס#) וגבהים שווים לגדול # y # (אחד על עקומת העליון) מינוס פחות # y # ערך (אחד על העקומה התחתונה). לאחר מכן אנו משתלבים מן הקטן ביותר #איקס# הערך הגדול ביותר #איקס# ערך.

עבור בעיה חדשה זו, אנו יכולים להשתמש בשני intergrals כאלה (ראה את התשובה על ידי ג 'ים S), אבל זה מאוד יקר כדי ללמוד להפוך את החשיבה שלנו #90^@#.

אנחנו ניקח מלבנים נציג horiontally.

למלבנים יש גובה # dy # (שינוי קטן # y #) ובסיסים שווים לגדול #איקס# (אחד על עקומת הימנית) מינוס פחות #איקס# ערך (אחד בעיקול השמאלי). לאחר מכן אנו משתלבים מן הקטן ביותר # y # הערך הגדול ביותר # y # ערך.

שימו לב לדואליות

# (: "", "if", "if", "if", "if",) iff, y):} #

הביטוי "מן הקטן ביותר #איקס# הערך הגדול ביותר #איקס# ערך ". מציין כי אנו משלבים משמאל לימין (לכיוון של הגדלת #איקס# ערכים).

הביטוי "מן הקטן ביותר # y # הערך הגדול ביותר # y # ערך ". מציין כי אנו משלבים מלמטה למעלה (לכיוון של הגדלת # y # ערכים).

הנה תמונה של האזור עם מלבן קטן המצוין:

האזור הוא

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

תשובה:

שטח האזור המוצל הוא # 1m ^ 2 #

הסבר:

# x = 1 / y ^ 2 #

# y ^ 2 = 1 / x #

# y = sqrtx / x # (ניתן לראות מהגרף)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# x ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (ניתן גם לראות מהגרף)

אחת הדרכים רבות באזור של השטח מוצל יכול לבוא לידי ביטוי כמו השטח של המשולש # AhatOB = Ω # למעט אזור ציאן שבו אני אתקשר #color (ציאן) (Ω_3) #

תן #Ω_1# יהיה האזור השחור שמוצג בתרשים #color (ירוק) (Ω_2) # השטח הירוק המוצג בתרשים.

שטח המשולש הקטן # ChatAD = # #color (ירוק) (Ω_2) # יהיה:

• #color (ירוק) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 1/4 #

השטח של #Ω_1# יהיה:

# 1 (2 / sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 =

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

כתוצאה מכך, האזור המוצל יהיה

• #Ω_1## צבע (ירוק) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #