אם f (x) = x tan ^ -1 f f (1) הוא מה?

תשובה:

# f (1) # איפה #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

הסבר:

אני מניח שהשאלה היא #f (1) # איפה #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

בדרך כלל הייתי מטפל # arctan # כמו multivalued. אבל כאן עם סימון פונקציה מפורשת #f (x) # אני אומר שאנחנו רוצים את הערך העיקרי של המשיק ההפוך. הזווית עם משיק 1 ברבע הראשון הוא # 45 ^ circ # או # pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

זה הסוף. אבל בואו נניח את השאלה בצד, ונתמקד במה #arctan t # פירושו באמת.

אני חושב על זה בדרך כלל #tan ^ -1 -1 (t) # או שווה ערך (ואני חושב טוב יותר) #arctan (t) # כ ביטוי רב-ערכי. "ארקטן" הפונקציה אינו באמת פונקציה, כי זה ההופכי של משהו תקופתי, אשר באמת לא יכול להיות הפוך על כל התחום שלה.

זה באמת מבלבל עבור סטודנטים ומורים. פתאום יש לנו דברים שנראים כמו פונקציות שאינן באמת פונקציות. הם נכנסו מתחת למכ"ם. נדרשים כללים חדשים להתמודדות עמם, אך לא נאמר במפורש. מתמטיקה מתחילה לקבל מטושטש כאשר זה לא צריך.

# x = arctan t # הוא חשב הטוב ביותר של פתרונות #tan x = t. # יש מספר אינסופי של אותם, אחד לכל תקופה. משיק יש תקופה של #פאי# אז הפתרונות הם #פאי# מלבד זה, שבו הוא #pi k # מגיע, מספר שלם # k #.

אני בדרך כלל לכתוב את הערך העיקרי של המשיק הפוך כמו ארקטן, עם הון א למרבה הצער Socratic שומר "תיקון" זה. אני אדאג לזה כאן:

#t = tan x # יש פתרונות

#x = arctan t = טקסט {Arc} טקסט {tan} (t) + pi k quad # עבור מספר שלם # k #.