שלושה יוונים, שלושה אמריקאים ושלושה איטלקים יושבים באקראי סביב שולחן עגול. מה ההסתברות שהאנשים בשלוש הקבוצות יושבים יחדיו?

תשובה:

#3/280#

הסבר:

בואו נספור את הדרכים שבהן כל שלוש הקבוצות יכולות לשבת זו ליד זו, ולהשוות זאת למספר הדרכים שבהן ניתן לשבת באקראי.

אנחנו נספר את האנשים 1 עד 9 ואת הקבוצות #A, G, I. #

# 1, 6, 6), stackrel אני overbrace (7, 8, 9) # #

יש 3 קבוצות, אז יש #3! = 6# דרכים לארגן את הקבוצות בשורה מבלי להפריע לפקודות הפנימיות שלהן:

#AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA #

עד כה זה נותן לנו 6 הרשאות תקפות.

בתוך כל קבוצה, ישנם 3 חברים, אז יש שוב #3! = 6# דרכים לארגן את החברים בתוך כל אחת משלוש הקבוצות:

#123, 132, 213, 231, 312, 321#

#456, 465, 546, 564, 645, 654#

#789, 798, 879, 897, 978, 987#

בשילוב עם 6 דרכים לארגן את הקבוצות, עכשיו יש לנו #6^4# תמורות תקפות עד כה.

ומכיוון שאנו נמצאים על שולחן עגול, אנו מאפשרים את 3 הסדרים שבהם הקבוצה הראשונה יכולה להיות "חצי" על קצה אחד ו "חצי" על השני:

# "A A G G G I I I" #

# "A G G G I I I" #

# "G G G I I I A A" # #

מספר הדרכים הכולל לקבל את כל 3 קבוצות להיות יושב יחד הוא # 6 ^ 4 xx 3. #

מספר דרכים אקראיות לארגן את כל 9 אנשים #9!#

ההסתברות של בחירה אקראית באחת הדרכים ה"מצליחות "היא אז

# (6xx6xx6xx6xx3) / (9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1) #

# = (3) / (2xx7xx5xx4) #

#=3/280#