מה ניתן להסיק לגבי M, מספר השורשים הלא-ריאליים של המשוואה x ^ 11 = 1?

תשובה:

שורש אמיתי: 1 בלבד. 10 שורשים מורכבים אחרים הם

#cis (2k) / 11pi), k = 1, 2, 3, …, 9, 10 #.

הסבר:

המשוואה היא # x ^ 11-1 = #. מספר השינויים בסימנים של

המקדמים הוא 1. אז, מספר השורשים האמיתיים החיוביים לא יכול e

עולה על 1.

שינוי x ל- x, המשוואה הופכת # -x ^ 11-1 = 0 # וה

מספר שינויי הסימנים הוא כעת 0. לכן, אין שורש שלילי.

כמו כן, שורשים מורכבים להתרחש זוגות מצומדות, וכך, מספר

שורשים מורכבים הוא אפילו.

לכן, יש רק שורש אחד אמיתי וזה 1, התבוננות כי

סכום המקדמים הוא 0.

בסך הכל, 11 11 השורשים של אחדות הם

#cis (2k / 11) pi), k = 0, 1, 2, 3, … 10, #.

ו, כאן, k = 0, נותן שורש כמו #cis 0 = cos 0 + i sin 0 = 1 #