חטא ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x אתה יכול לפתור את זה?

תשובה:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

הסבר:

יש לנו:

# (חטא ^ 2x + cos ^ 2x) (חטא ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (חטא ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

#-cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsxx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1 cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

תן #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

אנחנו רואים ש #u = -1 # הוא גורם. באמצעות חלוקה סינתטית אנחנו מקבלים

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

המשוואה # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # ניתן לפתור באמצעות נוסחה ריבועית.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) # #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 או -0.309 #

מאז #cosx = u #, אנחנו מקבלים #x = pi / 5, (3pi) / 5 # ו #פאי#.

איפה # n # הוא מספר שלם.

הגרף של # y_1 = חטא ^ 4x- cos ^ 4x # ו # y_2 = cos (3x) # מאשרת כי הפתרונות הם נקודות צומת.

אני מקווה שזה עוזר!

תשובה:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

הסבר:

# חטא ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (חטא ^ 2 + cos ^ 2 x) (חטא ^ 2 - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin = 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, או

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

מעגל יחידה, ואת המאפיין של cos, לתת ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

א. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

אם k = 0 -> #x = pi #

.ב # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

אם k = 1 -> #x = pi / 5 #.

אם k = 0 -> #x = - pi / 5 #, או #x = (9pi) / 5 # (co-terminal)

אם k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

במרווח הסגור 0, 2pi, התשובות הן:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

בדוק באמצעות המחשבון.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin = 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0.428 # -> cos 3x = - 309.

# חטא ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0.119 - 0.428 = - 309 #. הוכיח

#x = (9pi) / 5 # --># sin = 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0.428 # -->

# חטא ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0.309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0.309 #. הוכיח

תשובה:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # nrarrZ #

הסבר:

# rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (חטא ^ 2x + cos ^ 2x) (חטא ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# rarr-cos2x = cos3x #

# rarrcos3x + cos2x = 0 #

# 3 rarr2cos (3x + 2x) / 2)) * cos (3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos (5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

או #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # nrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi # # nrarr #

תשובה:

הפתרון הכללי אינו מחייב את הנוסחה זווית משולש, והוא

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # או # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

עבור מספר שלם # k #.

הסבר:

אני לא אוהבת לקרוא תשובות של אנשים אחרים לפני שאני פותרת שאלה בעצמי. אבל תשובה מובטחת על זה צצה. במהלך המבט המהיר שלי אני לא יכול לעזור לשים לב שזה נראה די מסובך עבור מה נראה לי כמו שאלה קלה יחסית. אני אתן לזה זריקה.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (חטא ^ 2 + cos ^ 2 x) (חטא ^ 2 - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

אני כבר על סוקראטי במשך כמה שבועות, וזה עולה כמו הנושא שלי: הפתרון הכללי #cos x = cos # J #x = pm a + 360 ^ circ k quad # עבור מספר שלם # k. #

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

אנחנו לוקחים את השלטים בנפרד. פלוס ראשון:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

מינוס הבא.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

אם תקראו אותם מקרוב, אתם עשויים לחשוב שאני טועה עם האופן שבו אני מתמרן # k #. אך מאז # k # טווחים מעל כל מספרים שלמים, תחליפים כמו #k to -k # ו #k ל- k + 1 # מותר ואני מחליק את אלה כדי לשמור על השלטים #+# כאשר הם יכולים להיות.

לבדוק:

ללא שם: בואו לבחור כמה לבדוק. אני מספיק חנון כדי לדעת #cos 36 ^ circ # הוא חצי יחס הזהב, אבל אני לא הולך לעבוד את אלה בדיוק, פשוט פופ אותם לתוך וולפרם Alpha כדי לוודא.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# חטא ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #