תן S להיות ריבוע של אזור יחידה. שקול כל מרובע שיש לו קודקוד אחד בכל צד של S. אם a, b, c ו- d מציינים את אורכי הצדדים של מרובע, להוכיח כי 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

תן #א ב ג ד# להיות ריבוע של אזור יחידה.

לכן # AB = BC = CD = DA = 1 # יחידה.

תן # PQRS # להיות מרובע שיש לו קודקוד אחד בכל צד של הכיכר. הנה תן # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

יישום Pythagoras thorem אנחנו יכולים לכתוב

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# 2 + 2 + y + 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# 2 + 2 (x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

עכשיו הבעיה שיש לנו

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

לפיכך

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #