מהו הערך של? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / חטא x ^ 2

תשובה:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x חטא t ^ 2 dt) / (חטא x ^ 2) = 0 #

הסבר:

אנחנו מחפשים:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (x = x) # #

הן המונה והן המכנה #rarr 0 # כפי ש #x rarr 0 #. ובכך הגבול # L # (אם הוא קיים) הוא בעל צורה בלתי מוגבלת #0/0#, וכתוצאה מכך, אנו יכולים ליישם את הכלל של L'Hôpital כדי לקבל:

# D = d (/ dx dx חטא (x ^ 2) # #

# / = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

עכשיו, באמצעות משפט היסוד של חצץ:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

בנוסף,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

וכך:

# L = lim_ (x rarr 0) חטא (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

שוב זה טופס בלתי מוגדר #0/0#, וכתוצאה מכך, אנו יכולים ליישם את הכלל של L'Hôpital שוב לקבל:

# D = dx 2xcos (x ^ 2) # (x ^ 2)

(2 xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) 4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

אשר, אנו יכולים להעריך:

# L = (0) / (2-0) = 0 #