הבדל מן העיקרון הראשון x ^ 2sin (x)?

תשובה:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # מההגדרה של הנגזר ונטילת מגבלות מסוימות.

הסבר:

תן #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. לאחר מכן

# (df) / dx = lim_ {h to 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h to 0} (x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# (x) + h (+ x) + (h) x (2) x (x + 2 hx) #

#=#

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# h (+) c (h) + חטא (h) cos (x))) / h + # #

# h (+) c (h) + חטא (h) cos (x)) / h #

על ידי זהות טריגונומטית וכמה פישוטים. על ארבע השורות האחרונות יש לנו ארבעה מונחים.

המונח הראשון שווה ל -0, מאז

#lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# x x ^ 2sin (x) (lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, אשר ניתן לראות למשל. מן הרחבת טיילור או של בית החולים ל '.

ה תקופה רביעית גם הוא נעלם כי

(h) 2 (חטא (x) cos (h) + חטא (ח) cos (x))) / h #

# h (+) c (h) + חטא (h) cos (x)) #

#= 0#.

עכשיו ה השני מפשט

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x x ^ 2cos (x) (lim_ {h to 0} (חטא (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, מאז

#lim_ {h to 0} (חטא (h)) / h = 1 #, כפי שמוצג כאן, או למשל. כלל בית החולים (ראה להלן).

ה מונח שלישי מפשט

# h (+) c (h) + חטא (h) cos (x)) / h #

# = lim_ {h to 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

אשר לאחר ומוסיפים את המונח השני נותן את זה

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

הערה: על פי חוק בית החולים, מאז # lim_ {h to 0} sin (h) = 0 # ו # lim_ {h to 0} h = 0 # ואת שתי הפונקציות הן שונות # h = 0 #, יש לנו את זה

(d) (dh)) חטא (h)) / (d / (dh) h = = lim_ {/ h = / h = lim_ { h to 0} cos (h) = 1 #.

הגבול # lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # ניתן להציג באופן דומה.