בבקשה, מישהו יעזור לפתור את הבעיה?

תשובה:

נסה את השינוי # x = tan u #

ראה למטה

הסבר:

אנחנו יודעים את זה # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

לפי השינוי המוצע יש לנו

# dx = sec ^ 2u du #. מאפשר להחליף את האינטגרל

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

לפיכך, ביטול השינוי:

# u = arctanx # ולבסוף יש לנו

#sin u + C = חטא (arctanx) + C #

תשובה:

# 1) x / 2 (+) 1 + x ^ 2 (+) 1 (+

הסבר:

ננסה להשתמש בתחליף טריגונומטרי לפתרון אינטגרל זה. לשם כך, נבנה משולש זווית ישרה #Delta ABC # ואת התווית הצדדים בצורה כזו, כי באמצעות הנוסחה פיתגורס אנו יכולים לגזור את הביטויים שאנו רואים כעת את הטענה של אינטגרל כדלקמן:

זווית # / _ B = theta # יש צד הפוך #איקס# ואת הצד הסמוך #1#. שימוש בנוסחת פיתגורס:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # תוצאות ב:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # כפי שמוצג.

עכשיו, בואו לכתוב את שלוש פונקציות טריגונומטריות הבסיסית ביותר עבור # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) # #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

עכשיו אנחנו צריכים להשתמש במשוואות אלה כדי לפתור עבור חלקים שונים של הטיעון אינטגרלי במונחים trigonometric. בוא נשתמש # tantheta #:

# tantheta = x #

בואו ניקח נגזרות של שני הצדדים:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

מ ה # costheta # המשוואה, אנחנו יכולים לפתור עבור #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

אם נגדיל את שני הצדדים של משוואה זו לכוח #3# אנחנו מקבלים:

# 3 = (= 1 + x ^ 2) ^ ^ ^ 2 = 3 = = ^ = = 1 + x ^ 2 ^ ^) 3/2 (#

עכשיו, אנחנו יכולים להחליף את מה שיש לנו מחושב לתוך אינטגרל הבעיה להפוך אותו אינטגרל trigonometric:

# 2) intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad theta) / sec ^ 3theta = intesec ^ 2theta / (catathasecec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (אדום) (sec ^ 2theta) / (1) / (=) (=) = (=) =) = (=) = (=) =

עכשיו, אנחנו יכולים להחליף עבור # sintheta # ולהפוך את התשובה שלנו בחזרה אל ביטוי אלגברי במונחים של #איקס#:

# 1) x / 2 (+) 1 + x ^ 2 (+) 1 (+