האם יש דרך שיטתית לקבוע את מספר המספרים בין 10, נניח, 50, מתחלקים על ידי ספרות יחידות שלהם?

תשובה:

מספר המספרים בין #10# ו # 10k # ניתן לחלק על ידי יחידות היחידות שלהם יכול להיות מיוצג כמו

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

איפה #fl (x) # מייצג את פונקציית הרצפה, מיפוי #איקס# למספר השלם הגדול ביותר או שווה ל #איקס#.

הסבר:

זה שווה לשאול כמה מספרים שלמים # a # ו # b # קיים היכן # 1 <= b <5 # ו # 1 <= a <= 9 # ו # a # מתחלק # 10b + a #

שים לב ש # a # מתחלק # 10b + a # אם ורק אם # a # מתחלק # 10b #. לכן, די למצוא כמה כאלה # b #s קיים עבור כל אחד # a #. כמו כן, שים לב # a # מתחלק # 10b # אם ורק אם כל גורם ראשוני של # a # גם הוא גורם ראשוני # 10b # עם ריבוי מתאים.

כל שנותר, אם כן, הוא לעבור כל אחד # a #.

#a = 1 #: כמו כל מספרים שלמים הם מתחלקים על ידי #1#, כל ארבעת הערכים # b # עבודה.

# a = 2 #: כפי ש #10# הוא מתחלק על ידי #2#, כל ארבעת הערכים # b # עבודה.

# a = 3 #: כפי ש #10# אינו מתחלק על ידי #3#, חייב להיות לנו # b # להיות מתחלק על ידי #3#, זה, # b = 3 #.

# a = 4 #: כפי ש #10# הוא מתחלק על ידי #2#, חייב להיות לנו # b # כפי שניתן לחלוקה על ידי #2# יש את הריבוי המתאים. לפיכך, # b = 2 # או # b = 4 #.

# a = 5 #: כפי ש #10# הוא מתחלק על ידי #5#, כל ארבעת הערכים # b # עבודה.

# a = 6 #: כפי ש #10# הוא מתחלק על ידי #2#, חייב להיות לנו # b # כפי שניתן לחלוקה על ידי #3#, זה, # b = 3 #.

# a = 7 #: כפי ש #10# אינו מתחלק על ידי #7#, חייב להיות לנו # b # כפי שניתן לחלוקה על ידי #7#. אבל #b <5 #, ולכן אין ערך עבור # b # עובד.

# a = 8 #: כפי ש #10# הוא מתחלק על ידי #2#, חייב להיות לנו # b # כפי שניתן לחלוקה על ידי #4#, זה, # b = 4 #

# a = 9: # כפי ש #10# אינו מתחלק על ידי #3#, חייב להיות לנו # b # כפי שניתן לחלוקה על ידי #3^2#. אבל #b <5 #, ולכן אין ערך עבור # b # עובד.

זה מסכם כל מקרה, ולכן, הוספת אותם, אנחנו מקבלים, כפי שהוסכם בשאלה, #17# ערכים. שיטה זו יכולה בקלות להיות מורחבת לערכים גדולים יותר, עם זאת. לדוגמה, אם רצינו לעבור #10# ל #1000#, היינו מגבילים # 1 <= b <100 #. ואז, מביט # a = 6 #, נאמר, היינו #2# מתחלק #10# וכך #6# מתחלק # 10b # אם ורק אם #3# מתחלק # b #. יש #33# מכפילי #3# בטווח עבור # b #, וכך #33# מספרים המסתיימים ב - #6# והם מתחלקים על ידי #6# Nep #10# ו #1000#.

ב קצר יותר, קל יותר לחשב את הסימון, באמצעות תצפיות לעיל, אנחנו יכולים לכתוב את מספרם של מספרים שלמים בין #10# ו # 10k # כפי ש

(n = 1) ^ 9 fl (k / n / gcd (n, 10))) = n = 1 (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

איפה #fl (x) # מייצג את פונקציית הרצפה, מיפוי #איקס# למספר השלם הגדול ביותר או שווה ל #איקס#.