איך אתה מוכיח (1 - חטא x) / (1 + חטא x) = (sec x + tan x) ^ 2?

תשובה:

השתמש בכמה זהויות טריג 'ופשוט. ראה למטה.

הסבר:

אני מאמין שיש טעות בשאלה, אבל זה לא עניין גדול. כדי שזה יהיה הגיוני, השאלה צריכה להיות:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

כך או כך, אנחנו מתחילים עם הביטוי הזה:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(כאשר הוכח הזהויות טריג, זה בדרך כלל הכי טוב לעבוד בצד כי יש חלק).

הבה נשתמש בטריק מסודר הנקרא כפל נוגד, שבו נכפיל את השבר על ידי המכנה מצומד:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# 1 (1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / (1 + sinx) (1-sinx)) #

המצומד של # a + b # J # a-b #, כך הצמיד של # 1 + sinx # J # 1-sinx #; אנו מתרבים # (1-sinx) / (1-sinx) # כדי לאזן את השבר.

שים לב ש # (1 + sinx) (1-sinx) # הוא למעשה הבדל של ריבועים, אשר יש את הנכס:

# (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

הנה, אנחנו רואים את זה # a = 1 # ו # b = sinx #, לכן:

# 1 (sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2 (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

מהזהות הפיתגוראית # חטא ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, זה אחרי זה (לאחר הפחתת # sin = 2x # משני הצדדים), # cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

וואו, אנחנו הלכנו # (1-sinx) / (1-sinx) # ל # 1-sin = 2x # ל # cos ^ 2x #! עכשיו הבעיה שלנו נראית כך:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

בואו נרחיב את המונה:

# (1-2sinx + חטא ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(זכור: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

עכשיו, אנחנו נשבור את השברים:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + חטא ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin = 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

כיצד לפשט כי ? ובכן, זכור כאשר אמרתי "זכור: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

מסתבר ש # sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # למעשה # (secx-tanx) ^ 2 #. אם נניח # a = secx # ו # b = tanx #, אנו יכולים לראות כי הביטוי הזה הוא:

#) #bb ^ +) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

אשר, כפי שאמרתי הוא שווה ל # (a-b) ^ 2 #. החלף # a # עם # secx # ו # b # עם # tanx # ואתה מקבל:

# sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

והשלים את הפרודיה:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #