תן vec (x) להיות וקטור, כך vec (x) = (-1, 1), "ולתת" R (θ) = [(costheta, sintheta), (sintheta, costheta)], כלומר סיבוב מפעיל. עבור theta = 3 / 4pi למצוא vec (y) = R (theta) vec (x)? צור סקיצה המציגה x, y ו- θ?

זה מסתבר להיות סיבוב נגד כיוון השעון. אתה יכול לנחש כמה מעלות?

תן #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # להיות טרנספורמציה ליניארית, היכן

#T (vecx) = R (theta) vecx, #

#R (theta) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

שים לב כי השינוי הזה היה מיוצג כ טרנספורמציה מטריקס #R (theta) #.

מה זה אומר מאז # R # היא מטריצת סיבוב המייצג את השינוי סיבוב, אנחנו יכולים להכפיל # R # על ידי # vecx # כדי להשיג את השינוי הזה.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >> #

עבור # MxxK # ו # KxxN # מטריצה, התוצאה היא #color (ירוק) (MxxN) # מטריצה, איפה #M# האם ה שורה ממדות ו # N # האם ה טור ממד. זה:

(y) (21), y_ (22), y_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (y_ (m1), y_ (m2), …, y_ (mn)) #

#, R_ (11), R_ (2k), Rd (1k)), Rd (21), R_ (R) (11), R_ (2)), (vdots, vdots, dx, ddots, vdots), r_ (m1), R_ (m2), … (x) (x) (x1), x_ (12), x_ (1n)), (x) (21), x_ (22), x_ (2n)), xd (wdots, ddots, vdots), x_ (k1), x_ (k2), x_ (kn) #

לכן, עבור # 2xx2 # מטריקס כפול # 1xx2 #, אנחנו צריכים לשנות את וקטור כדי לקבל # 2xx1 # עמודה וקטורית, נותן לנו תשובה כי הוא # mathbf (2xx1) # עמודה וקטורית.

הכפלת שני אלה מעניקה:

# (costheta, sintheta), (sintheta, costheta) xx - 1), (1) #

# = -Costheta - sintheta, (- sintheta + costheta) #

לאחר מכן, אנו יכולים להתחבר #theta = (3pi) / 4 # (אשר אני מניח היא זווית נכונה) כדי לקבל:

#color (כחול) (T (vecx) = R (theta) vecx #

# = R (theta) (- 1), (1) #

(3pi) / 4) - חטא (3pi) / 4)), (- חטא ((3pi) / 4) + cos (3pi) / 4)) #

# = -cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# (- - - sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-qqrt2 / 2)) #

# = color (כחול) ((0), (- sqrt2) #

עכשיו, בואו גרף זה כדי לראות איך זה נראה. אני יכול להגיד שזה סיבוב נגד כיוון השעון, לאחר קביעת הווקטור המומר.

ואכן, סיבוב נגד כיוון השעון על ידי #135^@#.

האתגר: אולי אתה יכול לשקול מה קורה כאשר המטריצה # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # במקום זאת. האם אתה חושב שזה יהיה בכיוון השעון?