תנו phi_n להיות e-fn_n האנרגיה nanfunction תקין של מתנד הרמוני, ולתת psi = hatahata ^ (†) phi_n. מה זה psi שווה?

קחו את המילטוניאן המתנד הרמוני …

# #HH = כובע ^ 2 / (2mu) + 1 / 2muomega ^ 2hatx ^ 2 #

# = 1 / (2mu) (כובע ^ 2 + mu ^ 2omega ^ 2 hatx ^ 2) # #

עכשיו, להגדיר את תחליף:

#hatx "'" = hatxsqrt (muomega) ##' '' '' '## Hatp "" "= כובע / sqrt (muomega) #

זה נותן:

# # (= 2mu) (hatp '' '^ 2) / (muomega)) # # / (2mu) (hatp' '' ^ 2 cdot muomega + mu ^

# = אומגה / 2 (כובע "" "^ 2 + hatx" '^ ^ 2) # #

לאחר מכן, שקול את החלופה שבה:

# htx "" "" = (hatx "'") / sqrt (ℏ) ##' '' '' '## Hatp "''" (כובע "") / sqrt (ℏ) #

אז זה # hatx '' '', hatp '' '' = Hatx '' '' Hatp '' '' - Hatp '' '' hatx '' '' = i #. זה נותן:

#HH = אומגה / 2 (כובע "" "" ^ 2cdotℏ + hatx "''" ^ 2cdotℏ) #

# = 1 / 2ℏomega (כובע "" "^ 2 + hatx" '' ^ 2) # #

מאז #hatp '' '' ^ 2 # ו #hatx '' '' ^ 2 # יכול להיות factored לתוך מוצר של conjugates מורכבים, להגדיר את מפעילי הסולם

# hata = (hatx "''" ihatp "" ") / sqrt2 ##' '' '' '## hata ^ (†) = (hatx '' '' - ihatp '' '') / sqrt2 #

אז זה:

# hathata ^ (=) "Hatx" '' '^ 2 - ihatx' '' '' + '' '' '' '' '' '' + + '' '' 2 '' / 2 #

# = (hatx '' '', ^ Hatx '' '' ^ 2) / 2 + (i 'Hatp' '' ', hatx' '' ') / 2 #

מאז # - Hatx '' '', hatp '' '' = hatp '' ', hatx' '' '= -i #, המונח הימני ביותר הוא #1/2#. על ידי בדיקה,

#hatH = ℏomega (hatahata ^ (†) - 1/2) # #

ניתן להראות זאת # hata, hata ^ (†) = 1 #, לכן

# hatahata ^ (†) - hata ^ (†) hata = 1 #

# => hatahata ^ (†) = 1 + hata ^ (†) hata #

12

#color (ירוק) (hatH = ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2)) #

כאן אנו מזהים את צורתו של אנרגיה להיות:

#E_n = ℏomega (n + 1/2) #

שכן ברור מן הטופס הזה עם

#hatHphi_n = Ephi_n #,

פשוט יש לנו את זה

# ℏomega (hata) (†) hata + 1/2) phi_n = ℏomega (n + 1/2) phi_n #

לפיכך, מפעיל מספר יכול להיות מוגדר:

#hatN = hata ^ (†) hata #

שערך העצמים שלו הוא המספר הקוונטי # n # עבור eigenstate.

לפיכך,

#color (כחול) (psi_n = hatahata ^ (†) phi_n) #

# = (1 + hata ^ (†) hata) phi_n #

# = (1 + hatn) phi_n #

# = color (כחול) (1 + n) phi_n) #