נניח K ו- L הם שני תת מרחב שונה וקטורית אמיתית V. אם נתון עמום (K) = עמום (L) = 4, כיצד לקבוע מימדים מינימליים אפשריים עבור V?

תשובה:

5

הסבר:

תנו את ארבעת הווקטורים # k_1, k_2, k_3 # ו # k_4 # ליצור בסיס של מרחב וקטור # K #. מאז # K # היא תת-מרחב של # V #, אלה ארבעה וקטורים טופס עצמאית ליניארית להגדיר ב # V #. מאז # L # היא תת-מרחב של # V # שונה מ # K #, חייב להיות לפחות אלמנט אחד, נניח # l_1 # in # L #, אשר אינו נמצא # K #, כלומר, שאינו צירוף ליניארי של # k_1, k_2, k_3 # ו # k_4 #.

אז, את הסט # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # הוא סט עצמאי ליניארי של וקטורים ב # V #. כך ממדי של # V # הוא לפחות 5!

למעשה, זה אפשרי עבור טווח # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # להיות מרחב וקטור כולו # V # - כך מספר מינימלי של וקטורים בסיס חייב להיות 5.

רק כדוגמה, תן # V # להיות # RR ^ 5 # ולתת # K # ו # V # מורכב של וקטורים של הטפסים

# ((alpha), (beta), (gamma), (delta), (0)) # ו # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

קל לראות כי וקטורים

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#ו #((0),(0),(0),(0),(0))#

בסיס של # K #. צרף את הווקטור #((0),(0),(0),(0),(0))#, ואתה תקבל בסיס עבור כל שטח וקטור,