שאלה # 9be0d

תשובה:

משוואה זו היא קירוב של אנרגיה רלטיביסטית של חלקיק למהירויות נמוכות.

הסבר:

אני מניח קצת ידע על תורת היחסות הפרטית, כלומר האנרגיה של חלקיק נעים שנצפתה ממסגרת אינרציונית ניתנת על ידי # E = gammamc ^ 2 #, איפה # gamma = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # # גורם לורנץ. כאן # # היא המהירות של החלקיק שנצפה על ידי משקיף במסגרת אינרציונית.

כלי קירוב חשוב עבור פיסיקאים הוא קירוב הסדרה טיילור. זה אומר שאנחנו יכולים להתקרב פונקציה #f (x) # על ידי # (n)) (0)) / (n!) x ^ n #, הגבוה יותר # N #, יותר טוב את הקירוב. למעשה, עבור קבוצה גדולה של פונקציות חלקות קירוב זה הופך להיות מדויק # N # הולך ל # oo #. שים לב ש #f ^ (n)) # מייצג נגזרת nth של # f #.

אנו משווים את הפונקציה #f (x) = 1 / sqrt (1-x) # # עבור קטן #איקס#, נציין כי אם #איקס# קטן, # x ^ 2 # יהיה אפילו קטן יותר, כך אנו מניחים שאנחנו יכולים להתעלם גורמים של הסדר הזה. אז יש לנו #f (x) approxf (0) + f '(0) x # (קירוב זה ידוע גם בשם קירוב ניוטון). #f (0) = 0 # ו #f '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, לכן #f '(0) = 1/2 #. לכן #f (x) בערך 1 + 1 / 2x #.

עכשיו אנו מציינים זאת # gamma = f ((v / c) ^ 2) #. ואכן, אם # # הוא קטן יחסית # c #, אשר יהיה זה יום יום מצבים, קירוב מחזיקה, כך # gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. החלפת זה במשוואה עבור האנרגיה הכוללת של חלקיק נותן # Eapproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2 #. זה נותן לנו את האנרגיה הקינטית # E-_ ("kin") = E-E_ "rest" = 2 + 1 / 2mv ^ 2-mc ^ 2 = 1 / 2mv ^ 2 # עבור מהירויות נמוכות, אשר עולה בקנה אחד עם תיאוריות קלאסיות. עבור מהירויות גבוהות יותר, מומלץ להשתמש במונחים נוספים מסדרת טיילור, ובסופו של דבר נקראים תיקונים רלטיוויסטיים על האנרגיה הקינטית.