מה הם quaternions?

תשובה:

סוג של מספר אשר הכפל אינו בדרך כלל חלופי.

הסבר:

מספרים אמיתיים (# RR #) יכול להיות מיוצג על ידי קו - מרחב ממדי אחד.

מספרים מסובכים (# CC #) יכול להיות מיוצג על ידי מטוס - שטח דו מימדי.

Quaternions (ח) יכול להיות מיוצג על ידי שטח ארבע ממדי.

במספרים אריתמטיים רגילים יש למלא את הכללים הבאים:

בנוסף

זהות: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

הפוך: #AA EE (a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

אסוציאטיביות: #AA a, b, c: (a + b) + c = a (b + c) #

קומוטטיביות: #AA a, b: a + b = b # a #

כפל

זהות: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

בניגוד לאפס: # AA a = = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

אסוציאטיביות: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

קומוטטיביות: #color (אדום) (AA a, b: a * b = b * a) #

יחד

חלוקה: # a (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)): #

#צבע לבן)()#

כללים אלה פועלים עבור מערכת של מספרים רציונליים # QQ #, קבוצה של מספרים ריאליים # RR # ואת המספרים המורכבים # CC # ולהגדיר מה נקרא א שדה - קבוצה המצוידת בפעולות של תוספת וכפל המספקות את הכללים.

Quaternions (ח) הם מה שנקרא א - שדה הטיה או אלגברה חלוקה אסוציאטיבית - קבוצה מצויד בפעולות של תוספת וכפל לספק את כל התנאים הללו למעט commutativity של כפל.

להיות גם א #4# ממדי שטח וקטור מעל Reals, הם האלגברה החלוקה האסוציאטיבית הגדולה ביותר על ריאלס, רק שני אחרים להיות # RR # ו # CC #.

מלבד הציר הריאלי, היחידות על שלושת הצירים האחרים נקראות #אני#, # j # ו # k #. הם כולם שורשים מרובעים של #-1#.

שלוש יחידות דמיוניות אלה עומדות בתנאים הבאים:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Quaternions יכול להיות מיוצג על ידי # 2xx2 # מטריצות בעלות ערכים מורכבים או על ידי # 4xx4 # מטריצות עם ערכים ריאליים.

יש להם יישומים במכניקה ופיסיקה תיאורטית.

#צבע לבן)()#

הערת שוליים

שימו לב שאמרתי אסוציאטיבי אלגברה חלוקה. מעבר Quaternions הם Octonions אפילו מוזר כי ירידה הדרישה כי הכפל להיות אסוציאטיבי.