מהי סדרת טיילור של f (x) = arctan (x)?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}}} / {2n + 1} #

תן לנו להסתכל על כמה פרטים.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

זכור כי סדרת כוח גיאומטרי

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

על ידי החלפת #איקס# על ידי # -x ^ 2 #, # = 1 - (- 1) - = - = {= = n = 0} ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ = n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

לכן, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

על ידי שילוב, #f (x) = int = sum = {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

על ידי הצבת סימן אינטגרלי בתוך הסיכום, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

על ידי כוח כלל, # = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}}} / {2n + 1} + C #

מאז #f (0) = arctan (0) = 0 #, (+) + 2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 # # n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} /

לפיכך, #f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}}} / {2n + 1} #