איך אתה פותר x ^ 4-18x ^ 2 + 81 = 0?

תשובה:

עיין בהסבר

הסבר:

קל לראות זאת

# x ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #

לכן יש לנו את זה # = x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 או x = -3 #

להיות מודעים לכך שורשים # x_1 = 3, x_2 = -3 # יש ריבוי #2#

כי יש לנו פולינום מדרגה רביעית.

תשובה:

#x = + -3 #

הסבר:

בדרך כלל, כדי לפתור פולינום של תואר 4 כמו זה כאן, אתה צריך לעשות חלוקה סינתטית ולהשתמש הרבה משפטים וכללים - זה נעשה די מבולגן. עם זאת, זה אחד מיוחד, כי אנחנו באמת יכולים לעשות את זה משוואה ריבועית.

אנו עושים זאת בכך שאנו נותנים #u = x ^ 2 #. אל תדאג איפה # u # הגיע מ; זה רק משהו שאנחנו משתמשים בו כדי לפשט את הבעיה. עם #u = x ^ 2 #, הבעיה הופכת

# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.

זה לא נראה טוב יותר? עכשיו אנחנו מתמודדים עם משוואה ריבועית נחמדה וקלה. למעשה, זהו ריבוע מושלם; במילים אחרות, כאשר אתה גורם לזה, אתה מקבל # (u-9) ^ 2 #. כמובן, נוכל להשתמש נוסחה ריבועית או השלמת הריבוע כדי לפתור את המשוואה, אבל אתה בדרך כלל לא בר מזל מספיק כדי להיות מרובע מושלם ריבועית - אז לנצל. בשלב זה, יש לנו:

# (u-9) ^ 2 = 0 #

כדי לפתור, אנו לוקחים את השורש הריבועי של שני הצדדים:

#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #

וזה מפשט

# u-9 = 0 #

לבסוף, אנו מוסיפים 9 לשני הצדדים להגיע

#u = 9 #

מדהים! כמעט שם. עם זאת, הבעיה המקורית שלנו יש #איקס#s ובתשובה שלנו יש # u # בתוכה. אנחנו צריכים להמיר #u = 9 # לתוך #x = # משהו. אבל אין פחד! זכור בהתחלה אמרנו לתת #u = x ^ 2 #? טוב עכשיו שיש לנו שלנו # u #, אנחנו פשוט תקע אותו בחזרה כדי למצוא שלנו #איקס#. לכן, #u = x ^ 2 #

# 9 = x ^ 2 #

#sqrt (9) = x #

#x = + -3 # (כי #(-3)^2 = 9# ו #(3)^2 = 9#)

לכן, הפתרונות שלנו הם #x = 3 # ו #x = -3 #. שים לב ש #x = 3 # ו #x = -3 # הם שורשים כפולים, כך מבחינה טכנית, כל השורשים הם #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.