מה עושה (3 + i) ^ (1/3) שווה בצורת + בי?

תשובה:

# 1/3 ארקטן (1/3) + שורש (6) (10) חטא (1/3 ארקטן (1/3)) # #

הסבר:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alpha) + i sin (אלפא)) # איפה #alpha = arctan (1/3) #

לכן

# (3) (3 + i) = שורש (3) (sqrt (10)) cos (אלפא / 3) + i sin (אלפא / 3)) #

# # root (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 ארקטן (1/3)) #

# 1) שורש (6) (10) cos (1/3 ארקטן) 1/3) + שורש (6) (10) חטא (1/3 ארקטן (1/3)

מאז # 3 + i # הוא ב Q1, זה שורש העיקרי שורש של # 3 + i # הוא גם ב Q1.

שני שורשי הקובייה האחרים של # 3 + i # ניתן לבטא באמצעות שורש הקובייה המורכבת הפרימיטיבית של אחדות #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

# 1) שורש (6) (10) cos (1/3 ארקטן) 1/3) + שורש (6) (10) חטא (1/3 ארקטן (1/3)) i #

# 1/3 (+) 3 (+) + שורש (6) (10) חטא (1/3 ארקטן (1/3) + (2pi) / 3) i #

# 1 (3) (10) cos (1/3 ארקטן) 1/3 + + שורש (6) (10) חטא (1/3 ארקטן (1/3)) i #

# 1/3) + 3 (+ 3) + 3) + 3) + (שורש (6) (10) חטא (1/3 ארקטן (1/3) + (4pi) / 3) i #