מהו שורש הריבוע של 89?

תשובה:

השורש הריבועי של #89# הוא מספר אשר כאשר בריבוע נותן #89#.

#sqrt (89) ~ 9.434 #

הסבר:

מאז #89# הוא ממשלה, #sqrt (89) # לא ניתן לפשט.

אתה יכול להתקרב אותו בשיטת ניוטון Raphson.

אני רוצה לנסח מחדש את זה קצת כמו כדלקמן:

תן #n = 89 # להיות מספר אתה רוצה את השורש הריבועי של.

בחר # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # אז זה # p_0 / q_0 # הוא קירוב רציונאלי סביר. בחרתי בערכים המיוחדים האלה מאז #89# הוא בערך באמצע הדרך בין #9^2 = 81# ו #10^2 = 100#.

הפוך את השימוש בנוסחאות:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

זה ייתן קירוב רציונלי טוב יותר.

לכן:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

אז אם נעצור כאן, נקבל אומדן:

#sqrt (89) ~ 717/76 ~~ 9.434 #

בואו נלך עוד צעד אחד:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

אז אנחנו מקבלים קירוב:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

שיטה זו ניוטון Raphson מתכנס במהירות.

#צבע לבן)()#

למעשה, קירוב פשוט למדי #sqrt (89) # J #500/53#, מאז #500^2 = 250000# ו #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

אם נחיל צעד איטרציה זה, אנו מקבלים קירוב טוב יותר:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#צבע לבן)()#

הערת שוליים

כל השורשים הריבועיים של מספרים שלמים וחיוביים יש המשך הרחבות המשך המשך, שבו אתה יכול גם להשתמש כדי לתת קירובים רציונלי.

עם זאת, במקרה של #sqrt (89) # המשך הרחבת חלק הוא קצת מבולגן אז לא כל כך נחמד לעבוד עם:

#sqrt (89) = 9; (2, 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))) #

הקירוב #500/53# לעיל הוא #9; 2, 3, 3, 2#