טווח של e ^ x / ([x] +1), x> 0 ו- [x] מציין את המספר השלם הגדול ביותר?

תשובה:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) # #

הסבר:

אני מניח #איקס# הוא המספר הקטן ביותר גדול מ #איקס#. בתשובה הבאה נשתמש בסימון #ceil (x) #, קרא את פונקציית התקרה.

תן #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. מאז #איקס# הוא גדול יותר #0#, משמעות הדבר היא כי התחום של # f # J # (0, + oo) #.

כפי ש #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # ומאז # e ^ x # הוא תמיד חיובי, # f # הוא תמיד גדול יותר #0# בתחום שלה. חשוב לציין ש # f # J לא מזריק הוא גם לא רציף במספרים הטבעיים. כדי להוכיח זאת, תן # n # להיות מספר טבעי:

# R = = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

כי #x> #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) # #

(X-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

באופן דומה, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

מאחר שהגבולות הימניים והימניים אינם שווים, # f # הוא לא רציף על מספרים שלמים. כמו כן, #L> R # לכולם #n ב- NN #.

כפי ש # f # הוא גדל במרווחים מוגבל על ידי מספרים שלמים וחיוביים, "הערכים הקטנים" לכל מרווח יהיה כמו #איקס# מתקרב לגבול התחתון מימין.

לפיכך, הערך המינימלי של # f # זה הולך להיות

# (0) + (0) + (0) + (0) + (0) + (0) + (0) / 2 #

זהו הגבול התחתון של טווח # f #.

אמנם אין זה נכון לומר זאת # f # גוברת, במובן זה, באופן אסימפטוטלי, היא מתקרבת לאינסוף - כפי שהוכח בהמשך:

(x-> oo) (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

כפי ש #ceilx> = x #, קיים א #delta <1 # כך ש # ceilx = x + דלתא #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + דלתא + 1) # #

תן #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# u => o = u = u) u = 1 / e ^ (דלתא + 1) # #

# e ^ u # מגדילה באופן אקספוננציאלי # u # עושה זאת באופן ליניארי, כלומר

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. 1 / e ^ (דלתא + 1) = oo = 1 / e ^ (דלתא + 1) = oo =

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

לכן טווח # f # J

# "Range" = (1/2, oo) # #

המרווח פתוח בצד שמאל כי #http: // 2 # עדיין #f (0) #, וכמו #איקס# גישות #0^+#, #f (x) # רק גישות #http: // 2 #; זה אף פעם לא שווה.