כיצד אתה משתמש במשפט הערך הבינוני כדי לוודא שיש אפס במרווח [0,1] עבור f (x) = x ^ 3 + x-1?

תשובה:

יש אפס אחד במרווח זה.

הסבר:

משפט הערך הבינוני קובע כי עבור פונקציה רציפה המוגדרת על מרווח # a, b # אנחנו יכולים לתת # c # להיות מספר עם

#f (a) <c <f (b) # וזה #EE x ב- a, b # כך ש #f (x) = c #.

תוצאה של זה היא שאם סימן של #f (a)! = # סימן של #f (b) # זה אומר שיש כמה #x ב- a, b # כך ש #f (x) = 0 # כי #0# הוא ללא ספק בין תשלילים חיוביים.

אז, בואו משנה ב endpoints:

#f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 #

#f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 #

# לכן # יש לפחות אפס אחד במרווח זה. כדי לבדוק אם יש רק שורש אחד אנחנו מסתכלים על הנגזרות אשר נותן את המדרון.

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1 #

אנחנו יכולים לראות את זה #AA x ב- a, b, f '(x)> 0 # ולכן הפונקציה תמיד הולכת וגדלה במרווח זה - כלומר, יש רק שורש אחד במרווח זה.