כיצד אתם מוכיחים את השניות (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

תשובה:

לעשות כמה כפל נוגד, לעשות שימוש בזהויות טריג ', ולפשט. ראה למטה.

הסבר:

להזכיר את זהות פיתגורס # חטא ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. מחלקים את שני הצדדים # cos ^ 2x #:

# (חטא ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #

אנו נעשה שימוש בזהות חשובה זו.

בואו נתמקד בביטוי זה:

# secx + 1 #

שים לב שזה שווה ל # (secx + 1) / 1 #. הכפל את החלק העליון והתחתון על ידי # secx-1 # (טכניקה זו ידועה ככפילה מצומדת):

# (secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) # #

# (-> (secx-1) (secx-1)) / (secx-1) # #

# -> (sec ^ 2x-1) / (secx-1) #

מ # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, אנחנו רואים ש # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. לכן, אנחנו יכולים להחליף את המונה עם # tan ^ 2x #:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) #

הבעיה שלנו קוראת כעת:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) # #

יש לנו מכנה משותף, אז אנחנו יכולים להוסיף את השברים בצד שמאל:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) # #

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) # #

משיקים לבטל:

# (ביטול) (tan ^ 2x) + 1-ביטול (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) # #

השארתנו:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) # #

מאז # secx = 1 / cosx #, אנו יכולים לשכתב את זה כמו:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

הוספת שברים במכנה, אנו רואים:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# 1 - (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) # #

# -> 1 / (1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) # #

שימוש ברכוש # 1 / (a / b) = b / a #, יש לנו:

# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

וזה משלים את ההוכחה.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) # #

# # ((secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) # #

# = (sec ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) # #

# # cosx / cosx * ((sec ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#color (אדום) ("בהצבת", sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) # #

# = cosx / (cosxsecx-cosx) #

#color (אדום) ("בהצבת", cosxsecx = 1) #

# = cosx / (1-cosx) = RHS #