לפשט לחלוטין: 1 - 2sin ^ 2 20 °?

נזכיר את זה

#cos (2x) = 1 - 2sin ^ 2x #

לכן

#cos (40) = 1 - 2sin ^ 2 (20) #

לכן הביטוי שלנו שווה #cos (40) #.

אני מקווה שזה עוזר!

תשובה:

# 1 - 2 sin = 2 20 ^ circ = cos 40 ^ circ #

הסבר:

"לחלוטין" היא מטרה מטושטשת טריג, כפי שנראה.

ראשית, הנקודה של בעיה זו היא לזהות את הצורה הסינוס של הנוסחה הקוסינוס זווית כפולה:

#cos (2 theta) = cos (theta + theta) = cos theta cos theta - sin theta sin theta ## = cos ^ 2 theta - sin = 2 theta = (1 sin = 2 theta) - חטא ^ 2 theta #

#cos (2 theta) = 1 - 2 חטא ^ 2 theta #

כותב את זה עבור # theta = 20 ^ circ #, #cos (2 (20 ^ circ)) = 1 - 2 sin = 2 20 ^ circ #

#cos 40 ^ circ = 1 - 2 sin = 2 20 ^ circ #

יש להניח #cos 40 ^ circ # היא התוצאה "פשוטה לחלוטין".

זאת התשובה. מונזור מציע שאני נותן אזהרה לפני החלק הבא. זה אופציונלי לחלוטין; נא להמשיך לקרוא אם אתה רוצה לדעת יותר על #cos 40 ^ circ # ולהפסיק לקרוא אם לא.

#cos 40 ^ circ # היא פשוטה לחלוטין, כי אין באמת ביטוי טוב יותר שאנחנו יכולים לרשום את זה יותר #cos 40 ^ circ #. # 40 ^ circ # הוא לא קונסטרוקטיבי עם יישור ומצפן. משמעות הדבר היא פונקציות טריג שלה הם לא תוצאה של מספרים שלמים המורכבת על ידי חיבור, חיסור, כפל וחלוקת שורשים מרובעים.

#cos 40 ^ circ # הוא למעשה השורש של משוואה פולינומית עם מקדמים שלמים. # theta = 40 ^ circ # מספק את המשוואה #cos (44 theta) = - cos (46 theta) #. אם #x = cos theta, # זה #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x), # איפה ה # T #s הם פולינומים Chebyshev מהסוג הראשון. במקום נוסחאות זווית כפולה משולשת, הם 44 פעמים ו 46 פעמים נוסחאות זווית.

לכן #cos (40 ^ circ) # הוא אחד של ארבעים ושש שורשים של:

# 87960930229680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 558483788832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

זה לא פשוט בכלל.