שלב lnx / 10 ^ x?

תשובה:

טעות

הסבר:

#int (lnx) / 10 ^ xdx # ניתן גם לכתוב כמו #int (lnx) xx10 ^ (- x) dx #.

עכשיו, אנחנו יכולים להשתמש בנוסחה עבור אינטגרל של המוצר

# intu * v * dx = u * v-int (v * du) #, איפה # u = lnx #

ככזה, יש לנו # du = (1 / x) dx # ולתת # dv = x ^ (- 10) dx # או # v = x ^ (- 9) / - 9 #

לפיכך, # xx (- 9) / - 9) dx / x # # * * dx = (- 1/9) lnx.x ^ (- 9), או

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) intx ^ (- 10) * dx #

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) x ^ (- 9) / (- 9) + c #

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) - (1/81) x ^ (- 9) + c #

= # -1 / 81 (x ^ (- 9)) (9lnx + 1) + c #

תשובה:

נראה לי אינסוף סדרה אינסופית.

הסבר:

אנחנו יכולים להשתמש בנוסחה עבור אינטגרל של המוצר של שני פונקציה #u (x) ו- v (x) #

# intucdotdv = ucdotv-int vcdotdu #

(הכלל יכול להיות פשוט נגזר על ידי שילוב של כלל המוצר של בידול)

בהתחשב אינטגרלי #intln (x) // 10 ^ xcdotdx # ניתן לכתוב כמו

#intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx #

תן # u = ln (x) ו- dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

מההנחה הראשונה # du = 1 / x cdotdx #

מהשוויון השני # v = int 10 ^ -x cdot dx = -1 / ln 10 10 -x + C #

אנחנו מקבלים #intln (x) xx10 ^ (x) cdotdx = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 -x + C) -int (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) cdot 1 / xcdot dx #

איפה # C # הוא קבוע של אינטגרציה.

# = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10-xxot 1 / xcdot dx-intccdot 1 / xcdot dx #

# = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10-xxot 1 / xcdot dx-ccdot ln | x | + C_2, #מפשט

# = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x) + 1 / ln 10 int 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx + C_2 #

זה מקטין למציאת אינטגרל של # intx ^ -1cdot 10 ^ -xdot dx #

שוב באמצעות אינטגרל לעיל על ידי נוסחה חלקים

תן # u = x ^ -1 # ו # dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

# du = -x ^ -2cdot dx # וכבר יש לנו את הערך # #

# intx ^ -1dcot 10 ^ -xdot dx = x ^ -1cdot (-1 / ln 10 10-xx + C) -int (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) cdot (-x ^ -2cdot dx) #

1. בדיקה מגלה מתברר להיות מציאת #int 10 ^ -xcdot x ^ -2cdot dx # וכן הלאה.
2. פונקציה #ln (x) # מוגדר רק עבור #x> 0 #
3. אינטגרל נראה אינטגרלי סדרה אינסופית.

תשובה:

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln (ln_10 y) -1) # #

לאחר מכן הכנס # 10 ^ x # ל #y #

# (ln 10 ^ x) (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

הסבר:

תן # y = 10 ^ x #

# lny = ln10 ^ x #

# lny = x * ln10 #

# x = lny / ln10 = ln_10y = log_10exxlog_e y #

#:. dx = log_10exx1 / yxxdy #

#int (ln (ln_10 y)) / yxxlog_10exx1 / yxxdy #

# = int (ln (ln_10 y)) / y ^ 2xxlog_10exxdy; u = ln (ln_10 y) = ln (1 / ln10 * lny), dv = 1 / y #

# (ln10 / lny) (1 / yln10)) = 1 (ylny) # (/ yln10) = 1 / yln10 =

# v = lny #

# uv-intvdu -> (ln (ln_10 y)) lny-intlny * 1 / (ylny) #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - int1 / y #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln_10 y-1) #

לאחר מכן הכנס # 10 ^ x # ל #y #

#ln 10 ^ x (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

#הוכחה:#

# d / dy (lny) (ln (ln_10 y) -1)) #

# f = lny, g = ln (ln_10 y) -1) # #

# f '= 1 / y, g' = (1 / ln_10y) (1 / (yln10)) #

# fg '+ gf' #---> כלל המוצר

#lny (1 / ln_10y) (1 / yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# (1 /) ln / ln10) (1 / yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# lny (ln10 / lny) (1 / yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# 1 / y + (ln (ln_10 y) -1 / y #

# ((1 + ln (ln_10 y) -1)) / y #

# (ln (ln_10y)) / y #

#ln (x) / 10 ^ x #---># ln_10 y = x # מלמעלה