שאלה # 41113

תשובה:

סדרה זו יכולה להיות רק רצף גיאומטרי אם # x = 1/6 #, או למאה הקרוב # xapprox0.17 #.

הסבר:

הצורה הכללית של רצף גיאומטרי היא כדלקמן:

# a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3, … #

או יותר רשמית # (ar ^ n) _ (n = 0) ^ oo #.

מאז יש לנו את הרצף # x, 2x + 1,4x + 10, … #, אנחנו יכולים להגדיר # a = x #, לכן # xr = 2x + 1 # ו # xr ^ 2 = 4x + 10 #.

מחולק על ידי #איקס# נותן # r = 2 + 1 / x # ו # r ^ 2 = 4 + 10 / x #. אנחנו יכולים לעשות חלוקה זו ללא בעיות, שכן אם # x = 0 #, אז הרצף יהיה כל הזמן #0#, אבל # 2x + 1 = 2 * 0 + 1 = 1ne0 #. לכן אנו יודעים בוודאות # xne0 #.

מאז יש לנו # r = 2 + 1 / x #, אנחנו יודעים

# r = 2 = (2 + 1 / x) ^ 2 = 4 + 4 / x + 1 / x ^ 2 #.

יתר על כן מצאנו # r ^ 2 = 4 + 10 / x #, כך זה נותן:

# 4 + 10 / x = 4 + 4 / x + 1 / x ^ 2 #, סידור מחדש זה נותן:

# 1 / x ^ 2-6 / x = 0 #, הכפלה על ידי # x ^ 2 # נותן:

# 1-xx = 0 #, לכן # 6x = 1 #.

מכאן אנו מסיקים # x = 1/6 #.

למאה הקרוב זה נותן # xapprox0.17 #.

תשובה:

כפי שאמר דאאן, אם רצף הוא להיות גיאומטרי, אנחנו חייבים # x = 1/6 ~ ~ 0.17 # הנה דרך אחת לראות את זה:

הסבר:

ברצף גיאומטרי, במונחים יש יחס משותף.

לכן, אם רצף זה הוא להיות גיאומטרי, אנחנו חייבים:

# (2x + 1) / x = (4x + 10) / (2x + 1) #

פתרון משוואה זו מקבלת אותנו #x = 1/6 #